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《幻方的探討和初步應(yīng)用.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、.專業(yè)整理.第一章介紹幻方的基本知識(shí)1.1幻方的定義在一個(gè)由若干個(gè)排列整齊的數(shù)組成的正方形中,圖中每一行,每一列以及每條對(duì)角線的幾個(gè)數(shù)分別加起來(lái)所得的和都相等,具有這種性質(zhì)的圖表,稱為“幻方”.這個(gè)相等的數(shù)稱幻方常數(shù)或定數(shù).幻方的每條邊有幾格,就叫做幾階幻方.階幻方常數(shù),記作.不難算出.例如將圖1填成圖2后,就成為一個(gè)4階幻方.它的每一行,每一列以及每條對(duì)角線上個(gè)各數(shù)的和都等于常數(shù).11415481110512769132316圖1圖21.2幻方的歷史幻方的歷史很悠久.幻方又稱縱橫圖,九宮圖,最早記錄于我國(guó)古代的洛書.在古代,人們沒(méi)有認(rèn)識(shí)到幻方
2、是利用整數(shù)的某些特性構(gòu)成的,而把它看成神秘的東西.關(guān)于幻方的起源,我國(guó)有“河圖”和“洛書”之說(shuō).相傳在遠(yuǎn)古時(shí)期,伏羲氏.學(xué)習(xí)幫手..專業(yè)整理.取得天下,把國(guó)家治理得井井有條,感動(dòng)了上天,于是黃河中躍出一匹龍馬,背上馱著一張圖,作為禮物獻(xiàn)給他,這就是“河圖”,也是最早的幻方.伏羲氏憑借著“河圖”而演繹出了八卦,后來(lái)大禹治洪水時(shí),洛水中浮出一只大烏龜,它的背上有圖有字,人們稱之為“洛書”.“洛書”所畫的圖中共有黑,白圓圈45個(gè).把這些連在一起的小圓和數(shù)目表示出來(lái),得到九個(gè).這九個(gè)數(shù)就可以組成一個(gè)縱橫圖,人們把由九個(gè)數(shù)3行3列的幻方稱為3階幻方,除此
3、之外,還有4階,5階... 后來(lái),人們經(jīng)過(guò)研究,得出計(jì)算任意階數(shù)幻方的各行,各列,各條對(duì)角線上所有數(shù)的和的公式為 ,其中為幻方的階數(shù),所求的數(shù)為.幻方最早記載于我國(guó)公元前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中,這說(shuō)明我國(guó)人民早在2500年前就已經(jīng)知道了幻方的排列規(guī)律.而在國(guó)外,公元130年,希臘人塞翁才第一次提起幻方. 我國(guó)也是最早發(fā)現(xiàn)幻方的國(guó)家之一.公元13世紀(jì)的數(shù)學(xué)家楊輝已經(jīng)編制出3－10階幻方,記載在他1275年寫的《續(xù)古摘廳算法》一書中.在歐洲直到574年,德國(guó)著名畫家丟勒才繪制出了完整的四階幻方. 而在國(guó)外,十二世紀(jì)的阿拉伯文獻(xiàn)也有六
4、階幻方的記載,我國(guó)的考古學(xué)家們?cè)?jīng)在西安發(fā)現(xiàn)了阿拉伯文獻(xiàn)上的五塊六階幻方,除了這些以外,歷史上最早的四階幻方是在印度發(fā)現(xiàn)的,那是一個(gè)完全幻方(后面會(huì)提到),而且比中國(guó)的楊輝還要早了兩百多年,印度人認(rèn)為那是天神的手筆.幻方又叫魔方,日本人稱為方陣,我國(guó).學(xué)習(xí)幫手..專業(yè)整理.稱為縱橫圖或方宮圖等.幾千年來(lái),人們沒(méi)有中斷過(guò)對(duì)幻方的研究.整數(shù)的這種變幻迷離的玄妙性質(zhì),自古以來(lái)吸引著無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)愛(ài)好者.人們不僅造出了各種幻方,還找出了其中的某些規(guī)律.到了本世紀(jì)60年代,有人應(yīng)用數(shù)論的方法,證明了任何階幻方的可構(gòu)造性.隨著科學(xué)的發(fā)展以及電子計(jì)算機(jī)的問(wèn)世,幻
5、方這個(gè)頗似數(shù)學(xué)游戲的古典題目日也受到重視.現(xiàn)在已經(jīng)有人編出任意高次的偶階幻方的計(jì)算程序,并編入“CACM程序匯編”.目前,幻方正在組合數(shù)學(xué),圖論,博奕論以及程序設(shè)計(jì).人工智能等等方面得到應(yīng)用.1.3幻方的性質(zhì)一．幻方的變換性質(zhì)我們?cè)趯W(xué)關(guān)于幻方的知識(shí)時(shí),對(duì)幻方數(shù)間的關(guān)系,幻方的構(gòu)造之謎等問(wèn)題表現(xiàn)出了極大的興趣.并提出：三階幻方除了“每一行,每一列,每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字的和都是同一個(gè)常數(shù)15”這一性質(zhì)外,還有其它的性質(zhì)嗎？將-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4這9個(gè)數(shù)分別填入下圖方陣(幻方)中的9個(gè)空格中,使得橫,豎,斜對(duì)角的3個(gè)數(shù)之和為0
6、.123412456753789896(1)(2)(3)6181-4375320-2294-34-1(4)(5)這種幻方是3×3幻方,通常是填1～9這9個(gè)數(shù),使得各行,各列,.學(xué)習(xí)幫手..專業(yè)整理.斜對(duì)角的三個(gè)數(shù)之和為15.填法是:先從左到右,從上到下,將1～9這9個(gè)數(shù)依次填入幻方中（如（2））；然后中心的5不動(dòng)，周圍的8個(gè)數(shù)順時(shí)針轉(zhuǎn)一格（如（3））；再將（3）中的對(duì)角的數(shù)互換一下（如（4））,即為填1～9的答案.將（4）中每個(gè)數(shù)減去5（或加-5）,得（5）,即填-4～4的答案.其他填法與之類似.仔細(xì)體會(huì)上述填法從（4）到（5）這一步,我們發(fā)現(xiàn)
7、它事實(shí)上提出了幻方的一種變換方式：變換1將一個(gè)幻方中的各數(shù)同時(shí)加上（或減去）一個(gè)相同的數(shù)，得到的仍就是幻方.如,上面的圖（4）中每一行,每一列以及每條對(duì)角線的幾個(gè)數(shù)分別加起來(lái)所得的和都15,是個(gè)3階幻方，那么由變換1知道把圖（4）中的每行數(shù)字加上2或減去2可分別得到圖（6）,圖（7）.圖（6）中每行，每列及每條對(duì)角線的幾個(gè)數(shù)分別加起來(lái)所得的和是21，所以它是一個(gè)3階幻方.同理，圖（7）也是一個(gè)3階幻方.6+21+28+26-21-28-27+25+23+27-25-23-22+29+24+22-29-24-2（6）（7）變換2將一個(gè)幻方中的各數(shù)
8、按一定順序（從大到小或從小到大）與一個(gè)等差數(shù)列中的各數(shù)對(duì)應(yīng)相加（或減），得到的還是幻方.如（8）,（9）就是在（4）的基礎(chǔ)上按變換2得到的..學(xué)習(xí)幫手
