淺談幻方以及C實現(xiàn)平面幻方的構(gòu)造

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1、淺談幻方以及C++實現(xiàn)平面幻方的構(gòu)造【摘要】關(guān)于幻方的研究從始至今一直沒有停歇過.隨著計算機的出現(xiàn)，幻方在圖論、程序設(shè)計、實驗設(shè)計、對策論、概率統(tǒng)計、人工智能以及工藝美術(shù)等方面得到了廣泛應(yīng)用。本文主要是簡單的介紹幻方的定義和平面幻方的構(gòu)造方法，以及通過C++實現(xiàn)平面幻方的構(gòu)造。【關(guān)鍵詞】幻方構(gòu)造C++應(yīng)用1.幻方的定義1.1幻方定義幻方也叫縱橫圖，是最古老和最流行的數(shù)學(xué)游戲之一。由若干個排列整齊的數(shù)組成的n階方陣中，每行、每列及對角線之和均相等，這樣的方陣就是幻方。例如九宮(表1)每行，每列及對角線之和均為12

2、,這是一個3階幻方。通常的幻方是人們熟知的由整數(shù)1,2,3-..n2排成一個階幻方，且每行、每列及對角線之和均為一個定數(shù)，我們把這個定數(shù)記作S,稱為幻方和?；梅街兴姓麛?shù)和為

3、n2(n2+1),其中幻方的幻方和S二叢號也。當n二1吋我們稱此幻方是平凡的，當n=2時，可以證明該種幻方是不存在的，當n=3時這樣的幻方(在同構(gòu)的意義下)僅有一個，n=4時，有880個，n=5時，至少有60000個幻方。438951276表13階幻方1?2幻方的種類幻方的種類很多，女山一般幻方，對稱幻方，同心幻方，完美幻方平面幻方，幻立

4、方，多維幻方，平方幻方，立方幻方，高次幻方，高次多維幻方等等。常見的幻方有：(1)完全幻方：將從1到n如的自然數(shù)排列成縱橫各有n個數(shù)的方陣，使每行、每列及所有泛對角線上的n個數(shù)的和都相等，這樣的方陣稱為n階完全幻方。其屮的泛對角線指的是主對角線以及與主對角線平行的一系列斜線的總稱。如下圖就是一個5階完全幻方:12519137148221202216159310423171118126524表2(1)乘幻方：每行上的數(shù)的乘積、每列上的數(shù)的乘積、每條對角線上數(shù)的乘積均相等，如圖表3就是一個乘幻方。225686416

5、4321128表3(2)反幻方：從1到n*n的自然數(shù)排列成縱橫各有n個數(shù)的方陣，使每行、每列及對角線上的n個數(shù)的和都不相等。如圖表4：123894765表4(3)質(zhì)數(shù)幻方：由個質(zhì)數(shù)構(gòu)成的n行n列的方陣，每行、每列及對角線上的n個數(shù)的和都相等，這個方陣就是質(zhì)數(shù)方陣。如圖表5：37674319735233711314161291713表5(1)同心幻方：也叫嵌套幻方，其特點是由中心向外輻射。假設(shè)一個7階同心幻方，去掉最外圍的一層，會變成5階同心幻方，再剝掉外層就變成三階幻方。也就是說，如果有一個無數(shù)階同心幻方，那它

6、就可以剝掉無限次(但到二階幻方時就不能再剝了)。下圖表6是一個同心幻方：49847484910381518363719123930222924201143332725231776162621283444531321413354540414232146表61?3幻方的一些性質(zhì)幻方的性質(zhì)很多，有共同的性質(zhì)，同類型的性質(zhì)、個別型的性質(zhì)等，如對稱性、輪換性是兩類幻方的性質(zhì)。一個由自然數(shù)1?“構(gòu)成的n(>=4)階幻方有下列的性質(zhì)：1.1和n行互換后，1和n列互換，仍是幻方。2.2和(ml)行互換后，2和(m2)列互換后仍

7、是幻方。3.任意階幻方屮的每個數(shù)加(減、乘、除)一個不為零的數(shù)，仍是幻方。4."個項的等差(比)數(shù)列都可以構(gòu)成n階幻方，只要按自然數(shù)列1至n2的項號編制即可得到。5.在自然數(shù)列或等差(比)數(shù)列屮任取等距離的n段，每段n個數(shù)，這/個數(shù)可編成n階幻方，按自然數(shù)1?￥的順序，n階幻方的編制法即得。6.在自然數(shù)1?卍構(gòu)成的n(>=4)階幻方屮，在每行、每列及對角線適當位置上各加一個常數(shù)A(A>=n2),仍是幻方。如圖(表7)：16161616表77.在自然數(shù)1?r?構(gòu)成的n0=4)階幻方中，在每行、每列及對角線適當位置

8、上各加一個常數(shù)A(A>=n2),又各加另一個常數(shù)B(B>=2n2)后仍是幻方。如圖(表8)：1632321632161632表8&在第7個性質(zhì)的基礎(chǔ)上，再各加一個常數(shù)C(C>=3n2)后仍是幻方。如圖(表9)：163248483216321648481632表92?幻方的構(gòu)造2.1平面幻方的構(gòu)造方法計算任意階數(shù)幻方的各行、各列、各條對角線上所有數(shù)的和的公式為：sum二門*("2+1)/2,n為階數(shù)。對平面幻方的構(gòu)造，分為三種情況：n為奇數(shù)、n為4的倍數(shù)、n為其它偶數(shù)(4n+2的形式)。1).當n為奇數(shù)時稱為奇階

9、幻方：1」)、Merzirac法生成奇階幻方在第一行居中的方格內(nèi)放1,依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有數(shù)字，則向下移一格繼續(xù)填寫。1.2)>loubere法生成奇階幺J方在居中的方格向上一格內(nèi)放1,依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有數(shù)字，則向上移兩格繼續(xù)填寫1.3)>horse法生成奇階幺J方a.對于所有的奇階幻方，在第一行居中的方格內(nèi)放1,向左走1步，下走2步以