《同濟(jì)版高數(shù)下》PPT課件.ppt

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1、習(xí)題課一、曲線積分的計(jì)算法二、曲面積分的計(jì)算法線面積分的計(jì)算第十一章（一）曲線積分與曲面積分（二）各種積分之間的聯(lián)系（三）場(chǎng)論初步一、主要內(nèi)容曲線積分曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義計(jì)算定義計(jì)算聯(lián)系聯(lián)系（一）曲線積分與曲面積分曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義聯(lián)系計(jì)算(與方向有關(guān))與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件等價(jià)命題曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分定義聯(lián)系計(jì)算(與側(cè)無(wú)關(guān))(與側(cè)有關(guān))2021/8/107定積分曲線積分重積分曲面積分（二）各種積分之間的聯(lián)系2021/8/108積分

2、概念的聯(lián)系發(fā)現(xiàn)：①被積函數(shù)是數(shù)量值函數(shù)，積分元素是具可加性的量；定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分的共同點(diǎn)：②定義均為由分割、近似、求和、取極限4步驟得到的和式極限；③主要性質(zhì)：線性性質(zhì)、區(qū)域可加性、保不等式性、積分中值定理以及對(duì)稱性奇偶性；2021/8/109定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分的共同點(diǎn)：④物理意義（除定積分外）：質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力；思考：記憶具有這么多共同特點(diǎn)的數(shù)量值函數(shù)積分有沒(méi)有簡(jiǎn)單方法？2021/8/1010定義數(shù)量值函數(shù)的積分定積分二重積分2021/8/101

3、1曲面積分空間曲線積分三重積分平面曲線積分2021/8/10數(shù)量值函數(shù)積分的應(yīng)用質(zhì)量質(zhì)心2021/8/1013數(shù)量值函數(shù)積分的應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算上的聯(lián)系其中積分理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系牛頓--萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系格林公式3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系斯托克斯公式2021/8/1018定積分曲線積分重積分曲面積分計(jì)算計(jì)算計(jì)算Green公式Stokes公式Guass公式各種積分之間的聯(lián)系梯度通量旋度環(huán)流量散度場(chǎng)論初步(1)利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算;(2)利用積分與路徑無(wú)關(guān)的

4、等價(jià)條件;(3)利用格林公式(注意加輔助線的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式.曲線積分的基本技巧二、典型例題例.例.計(jì)算其中?為曲線2021/8/1023思路:閉合非閉閉合非閉補(bǔ)充曲線或用公式2021/8/1024例例.設(shè)在上半平面內(nèi)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且對(duì)任意t>0都有證明對(duì)D內(nèi)任意分段光滑的閉曲線L,都有已知平面區(qū)域L為D的邊界,試證例例.設(shè)L是平面與柱面的交線從z軸正向看去,L為逆時(shí)針?lè)较?計(jì)算公式例.曲面積分的計(jì)算法曲面積分第一類(對(duì)面積)第二類(對(duì)坐標(biāo))轉(zhuǎn)化二重積分(2)選擇積分變量—代入曲面方程

5、(3)積分元素投影第一類:始終非負(fù)第二類:有向投影(1)確定二重積分域—把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面基本技巧(1)利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算(2)利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(3)兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化2021/8/1032例計(jì)算曲面積分中?是球面2021/8/1034例2021/8/1035例例單位外法向向量,試證設(shè)?為簡(jiǎn)單閉曲面,a為任意固定向量,n為?的例設(shè)?是曲面取上側(cè),計(jì)算