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1、2006年8月湖北教育學(xué)院學(xué)報Aug.2006第23卷第8期JournalofHubeiInstituteofEducationVo.l23No.8經(jīng)典諧振子與量子諧振子劉明(湖北教育學(xué)院物理與電子工程系,武漢430205)摘要:線性諧振子問題在經(jīng)典力學(xué)中和量子力學(xué)中都是一個倍受關(guān)注的問題,它的重要性在于自然界中廣泛碰到簡諧運(yùn)動,許多體系都可以近似地看作線性諧振子。本文從經(jīng)典和量子兩個角度對諧振子問題進(jìn)行了研究和比較,并用測不準(zhǔn)關(guān)系探討了零點(diǎn)能問題。關(guān)鍵詞:諧振子;零點(diǎn)能;測不準(zhǔn)關(guān)系;波粒二象性中圖分類號:04131.1文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A
2、文章編號:1007-1687(2006)08-0006-03作者簡介:劉明(1962-),女,教授,研究方向?yàn)榱孔游锢?、高能多重產(chǎn)生唯象學(xué)。線性諧振子問題在經(jīng)典力學(xué)中和量子力學(xué)中都是一個倍動能Ee和勢能Ep的表達(dá)式為受關(guān)注的問題。它的重要性在于自然界中廣泛碰到簡諧運(yùn)2w2x2dx02Ee==cos(wt+0)(9)動,許多體系都可以近似地看作線性諧振子。2dt2本文將從經(jīng)典和量子兩個角度來研究諧振子,探討經(jīng)典12222Ep=2kx=wx0/2sin(wt+0)(10)諧振子與量子諧振子的區(qū)別與聯(lián)系以及由此引發(fā)的對其量子顯然總
3、能量在運(yùn)動中是不變的特性的一些思考。22wx0121經(jīng)典力學(xué)中的諧振子E=Ee+Ep==kx022[1]且由(9)(10)式知:當(dāng)wt+0=0時,勢能有最小值0,而在經(jīng)典力學(xué)中,諧振子問題可用下面的方式來表述。一122質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)沿OX軸運(yùn)動,它所受到的回復(fù)力F(x)可從動能在此時有最大值2wx0。力函數(shù)V(x)的微商得到。力函數(shù)而當(dāng)wt+=2時,勢能有最大值1w2x2,而此時動能!20值最小為0。進(jìn)一步,對于經(jīng)典振子:x=x0sin(wt+0)[2]dx12經(jīng)典振子的速度V為:V==x0wcos(wt+0)V(x)=kx(1)dt2
4、2x力的表示式為:利用cos?=1-sin?,注意:sin(wt+0)=xF(x)02F=-dv/dx=-kxi(kooke定律)(2)V=x0w1-sin(wt+0)(x)i是沿ox軸的單位矢量。運(yùn)動方程可寫成=xw1-x(11)02x0dx=-kx(3)dt2其中x0為振幅,平衡點(diǎn)為原點(diǎn)。當(dāng)x=0時,由(11)式知2k此時經(jīng)典振子的速度V有最大值V=x0w,即經(jīng)典振子在x=0令w=(4)處逗留時間最短,出現(xiàn)的幾率最小。2dx2(3)式變?yōu)?dt2+wx=0(5)2量子力學(xué)中的諧振子方程(5)的解具有下列形式:x=xs
5、in(wt+)(6)00在量子力學(xué)中,取諧振子的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),并選原它表示一個正弦運(yùn)動,其振幅為x0,相位為0角頻率為點(diǎn)為勢能的零點(diǎn),則一維諧振子的勢能可表為:[3]w相應(yīng)的頻率是:=w=1k(7)1202!2!V(x)=2kx只與原點(diǎn)的質(zhì)量和回復(fù)力常數(shù)k有關(guān),而振幅x0和相K是反映諧振作用強(qiáng)度的參數(shù),諧振子受力F=-dv/dx位0都與運(yùn)動初始條件有關(guān)。振子的總能量E是:E=Ee+Ep(8)收稿日期:2006-04-10劉明:經(jīng)典諧振子與量子諧振子7=-kx,設(shè)振子質(zhì)量為,令:一討論與比較:k1223.1關(guān)于能級W=則V(x
6、)=wxu23.1.1能量取值特點(diǎn)。由(9)(10)式知經(jīng)典諧振子的能量取值一維諧振子的能量本征方程為:是連續(xù)的,而由(17)式知量子諧振子的能量取值是分立的,即22-d+1w2x2#=E#(12)量子化的,其中n為量子數(shù)。且能級是等間距的,間距為w。能2(x)(x)2dx2量取分立值是微觀粒子具有波粒二象性這一量子特征的重要為方便起見引入沒有量綱的變量?代替x,它們的關(guān)系是:體現(xiàn)。?wx?x,?=w;由于能級間隔是等距離的,能級間的躍遷只發(fā)生在相鄰能級之間,即躍遷只能逐級進(jìn)行,因此各躍遷都發(fā)生頻率相同2E并令:%=(13)的輻射
7、。實(shí)驗(yàn)測得的能譜只有一條譜線。w23.1.2零點(diǎn)能討論。由(9)式知當(dāng)cos(w+0)=0時經(jīng)典諧振d#(x)2則(12)式化簡為:2+(%-&)#(x)=0(14)子的最低動能為零,而由(17)式知,量子諧振子在基態(tài)能量不d?這是一個變系數(shù)二階常微分方程。?(或x)有限的點(diǎn)是微為零。即當(dāng)n=0時,E=1w,稱為零點(diǎn)能。這與經(jīng)典諧振子02分方程的常點(diǎn),而?=!為方程的正則奇點(diǎn)?？紤]方程的解完全不同,再次說明微觀粒子具有波粒二象性,絕對%靜止&2在?!處的漸近行為。當(dāng)
8、?
9、很大時,%與?相比可以略的波是沒有的,這是一種量子效應(yīng)。去,所以方程(14
10、)可寫為:其實(shí),量子諧振子的零點(diǎn)能我們還可直接利用量子力學(xué)2d#(x)22=?#(x)中的不確
