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《熊斌教授、冷崗松教授、李勝宏教授講座.pdf》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、3月14日熊斌主講（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）保加利亞（波蘭）競(jìng)賽題點(diǎn)評(píng)：1.數(shù)論試題較多，常與數(shù)列、函數(shù)、不等式結(jié)合；2.平面幾何題；3.組合題較少。注：羅馬尼亞、越南試題也難，但傾向于高等數(shù)學(xué)。例1．（2001年）數(shù)列{a}定義如下：a=k，a=5k-2，a=3a-2a，a=1,2,3,…。n12n?2n?1n其中k位一實(shí)常數(shù)。(1)求所有的k的值，使得數(shù)列{a}是收斂的；n2??78aa?ann?1n?1(2)若k=1，求證：a=n?2??，n=1,2,3,….??1??aann?1解：(1)a-a=2(a-a)n?2n?1
2、n?1n2=2(a-a)nn?1=…n=2(a-a)21n+1=2(2k-1)n-1∴a-a=2(2k-1)nn?1n-2a-a==2(2k-1)n?1n?2……a-a=2(2k-1)2123n-1上面各式相加得：a-a=(2k-1)(2+2+2+…+2)n1n∴a=(2k-1)2+2-3kn由于{a}收斂，故2k-1=0，n1∴k=.2n(2)當(dāng)k=1時(shí)，a=2-1.n22nn??78aa?a?122????421?nn??11n∴??=?n???1??aa?321???nn?1n??1=4×2+???n??321??n=4×
3、2-1=a.n?2評(píng)注：求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.n例2．（2000年）設(shè){a}為一個(gè)整數(shù)數(shù)列，對(duì)任意正整數(shù)n,均有n(n?)1a?(n?)1a?2??n?1n?1n若2000
4、a，求最小的正整數(shù)n，使得2000
5、a.1999n解：令n＝1，則a1＝0。an設(shè)b?，則nn?1bb2nn?1????n?2,3,?，nn??11n??nbbnn?1??11故????2??nn??11??nnbbnn??12??11????2??nn??12??nn??21……bb??1132????2??32??23各式相加得bnb2
6、??11????2??nn22????a2∴bn?????12n??2????a2∴an????11??????n2。n????2????a2故a???1998????119992??1999????2由2000
7、a得1999????a21000
8、999??????119992?，????2???1000,999?1a2∴1000
9、(??1)2，2于是a為偶數(shù)，2可設(shè)a?2m，則21000
10、??m??119992?∴1000
11、?????m12即1000
12、m?3，再令mt??31000，則an??(1)[(1000tn??2)2]
13、n???????nn(1)1000t2(nn1)2(n1)因?yàn)?000
14、a,n所以2000
15、2(nn???1)2(n1)，2故1000
16、n?1則n為奇數(shù)，可設(shè)n?2k?1，則250
17、(kk?1)，而??kk,1??133所以5
18、k或5
19、k?1，取k?124，∴n?249.評(píng)注：(1)分析題設(shè)條件，利用奇偶分析是解決本題的關(guān)鍵.(2)本題求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，還可以采用如下的方法；nnb???(1n)b2nn?1bb??22b?2nn?12?????nn?12b2????bn(1)2n2并且，由nb???(1n)b2與nn?1??
20、nbnb??1(n?2?2)n?2相減，可得2bbb??，nn??12n可知數(shù)列?b?是等差數(shù)列。n例3．（1996年）數(shù)列{a}定義如下：nannaa??1,??,n1,2,?11n?nan2證明：當(dāng)n?4時(shí)，有[an]?n，這里?x?表示不超過(guò)x的最大整數(shù).xn?證明：設(shè)f()xx?????R，nx設(shè)0???xxn122?x211??xxxn??2?fx????21??fxnxx12?0故f(x)在,0(n]上是減函數(shù)，同理，f(x)在[n,??)上是增函數(shù)。22[]ann?????an1nn????nan1nn下面利用歸納
21、法先證明：n?a?(n?)3①nn?13事實(shí)上，aaa???1,2,2，顯然a??3，12332故n＝3時(shí)，①式成立。n設(shè)na??，nn?1∵f(x)在,0(n]上是減函數(shù)，??n∴af???a?f??nn?1??n?11???n1n?1n??n?1n?1且af???a?f?n?nn?111n????nnn故對(duì)n＋1時(shí)命題①成立。下面利用歸納法再證明：a?n?(1n?)4②n∵由①有an??1，n?1nn?1∴a?，故a?，n?1nn?1n?2∵f(x)在,0(n]上是減函數(shù)，??n?1∴af???a?f??nn?1??n?22
22、2???nn?12??n??nn????12n下面證明an??2③n?122????nn???12n③??n?2nn????12n3222??????nnn21?nnn??232????2641nnn?0上式當(dāng)n≥4時(shí)成立。故③式成立，即原命題成立。評(píng)注：(1)
