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1、特征方程特征根解：∴通解為:課前練習(xí)代入通解得所求特解：將代入以上兩式，得：安徽財經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics§10.6差分與差分方程的概念三、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)一、差分的概念二、差分方程的概念微積分電子教案§10.6差分與差分方程的概念微分方程差分方程區(qū)別未知函數(shù)為連續(xù)型未知函數(shù)為離散型兩者性質(zhì)相近，差分方程在經(jīng)濟中應(yīng)用更廣泛，象統(tǒng)計某經(jīng)濟量，以天、日為單位。研究函數(shù)y=f(t)在t時刻的變化速度問題.①若y=f(t)為連續(xù)函數(shù),在點t處的變化速度為一、差分的概念1、問題②若
2、y=f(t)為離散函數(shù),變化速度差商——微商差商：——差分表示f(t)在t(整數(shù))處變化速度的近似值。設(shè)y=f(x),記為yx,其中x(通常表示時間)的取值為離散的等間隔整數(shù)值:x=0,±1,±2,…,則yx+1-yx稱為函數(shù)yx在x處的差分,也稱一階差分,記為:2、差分的定義一、差分的概念例1.求下列函數(shù)的差分：⑴解：⑵⑶常數(shù)的差分為0冪函數(shù)的差分次數(shù)降低1次指數(shù)函數(shù)的差分是原指數(shù)函數(shù)的若干倍一、差分的概念解：一、差分的概念例2求下列函數(shù)的差分3、差分的四則運算法則一、差分的概念參照導(dǎo)數(shù)的四則運算法則學(xué)習(xí)⑴二階差分:差分△yx在
3、x處的差分稱為yx在x處的二階差分,記為△2yx類似地有:⑵高階差分:二階和二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分.4、高階差分一、差分的概念解一、差分的概念例3求解：一、差分的概念例4解：（公式）一、差分的概念例5引例：已知電視機廠第x個月月初的庫存量為Rx，該月內(nèi)生產(chǎn)、銷售分別為m,n，則下月初庫存量Rx+1為：差分方程二、差分方程的概念定義1:含有自變量x以及未知函數(shù)不同時期值的函數(shù)方程,稱為差分方程。未知函數(shù)下標(biāo)的最大差值稱為該差分方程的“階”。二階差分方程一階差分方程一階差分方程1、兩種定義與階一般形式:反映了未知函數(shù)不同時期值二
4、、差分方程的概念定義2：含有未知函數(shù)差分的方程，稱為差分方程。如：二階差分方程三階差分方程其中未知函數(shù)差分的最高階數(shù)稱為該差分方程的階。一階差分方程1、兩種定義與階一般形式:二、差分方程的概念差分方程的兩種形式可以相互轉(zhuǎn)化,但“階數(shù)”可能會不等價。如：二階差分方程轉(zhuǎn)化為另一種形式：即：一階差分方程⑵約定以定義1為準(zhǔn)，今后遇到第二種形式的差分方程要展開，化為第一種形式后再定它的階數(shù)(∵經(jīng)濟領(lǐng)域中只討論形如定義1型的差分方程)2、對定義的說明與約定⑴對定義的說明二、差分方程的概念解例6下列等式是差分方程的有().二、差分方程的概念解例
5、7確定下列方程的階若將已知函數(shù)y=?(x)代入差分方程，使得方程兩邊成為恒等式，則稱此函數(shù)為差分方程的解.3、解的定義二、差分方程的概念4、通解、特解與特注⑴通解:含有獨立的任意常數(shù),且常數(shù)個數(shù)與差分方程的階數(shù)相同,這樣的解稱為差分方程的通解。⑵特解:不含有任意常數(shù)的解稱為特解。(或在通解中給任意常數(shù)以確定的值而得到的解稱為差分方程的特解)★⑶差分方程解的重要性質(zhì)：“時滯性”差分方程中自變量超前或滯后相同的時間間隔，而方程結(jié)構(gòu)不變，則由此得到的新方程與原方程有相同的解，換言之，新老方程為同解方程。二、差分方程的概念規(guī)定：標(biāo)準(zhǔn)差分方
6、程中最小下標(biāo)為x。例如：即：注：標(biāo)準(zhǔn)化就是變量替換。應(yīng)將差分方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程,然后再求解。如：二、差分方程的概念⑴n階常系數(shù)線性齊次差分方程三、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)1、標(biāo)準(zhǔn)形式⑵n階常系數(shù)線性非齊次差分方程二階常系數(shù)非齊次差分方程一階常系數(shù)非齊次差分方程三階線性非齊次差分方程三階線性齊次差分方程(系數(shù)不是常數(shù))三、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)定理1(疊加原理)若y1(x),y2(x),…,yk(x)是n階線性齊次方程⑴的k個特解，則它的線性組合仍為⑴的解。(其中C1,C2,…,Ck為k個任意常數(shù))2、線性差分方程解的結(jié)構(gòu)定理⑴
7、齊次線性差分方程的通解結(jié)構(gòu)：(與線性微分方程類似)三、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)問題:定理2(通解結(jié)構(gòu)定理)若y1(x)，y2(x)，…，yn(x)是n階線性齊次差分方程⑴的n個線性無關(guān)的特解,則其通解為(其中C1,C2,…,Cn為n個任意常數(shù)）三、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)那么稱這些函數(shù)在區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)；否則稱線性無關(guān).注：設(shè)為定義在區(qū)間內(nèi)的個函數(shù)．如果存在個不全為零的常數(shù)，使得當(dāng)在該區(qū)間內(nèi)有恒等式成立三、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)⑵非齊次線性差分方程的通解結(jié)構(gòu)：定理3設(shè)是階常系數(shù)非齊次線性差分方程的一個特解,是與(2)對應(yīng)的齊
8、次方程(1)的通解,那么是階常系數(shù)非齊次線性差分方程(2)的通解.定理4設(shè)非齊次方程(2)的右端是幾個函數(shù)之和,如而與分別是方程,的特解,那么就是原方程的特解.三、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)作業(yè)：習(xí)題10-6(P411)1，5
