數(shù)學(xué)建模教程——模型05微分方程模型.ppt

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1、第五章微分方程模型5.1傳染病模型5.2經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型5.3正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)5.4藥物在體內(nèi)的分布與排除5.5香煙過濾嘴的作用5.6人口預(yù)測(cè)和控制5.7煙霧的擴(kuò)散與消失5.8萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)動(dòng)態(tài)模型描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間)的演變過程分析對(duì)象特征的變化規(guī)律預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來性態(tài)研究控制對(duì)象特征的手段根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分方程建模根據(jù)建模目的和問題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè)按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程5.1傳染病模型問題描述傳染病的傳播過程分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻預(yù)防傳染病蔓

2、延的手段按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型已感染人數(shù)(病人)i(t)每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為?模型1假設(shè)若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為?,且使接觸的健康人致病建模?~日接觸率SI模型模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時(shí)刻?(日接觸率)??tm?Logistic模型病人可以治愈！?t=tm,

3、di/dt最大模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS模型3）病人每天治愈的比例為??~日治愈率建模?~日接觸率1/?~感染期?~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。模型3i0i0接觸數(shù)?=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)1-1/?i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01?>10ti?>11-1/?i0t??1di/dt<0模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變

4、，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率?,日治愈率?,接觸數(shù)?=?/?建模需建立的兩個(gè)方程模型4SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質(zhì)模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內(nèi)作相軌線的圖形，進(jìn)行分析si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減?相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/??i(t)先升后降至0P2:s0<1/??i(t)單調(diào)降至01/?~閾值P3P4P2S0模型4SIR模型預(yù)防傳染病蔓延的手段?(日接觸率)??衛(wèi)生水

5、平??(日治愈率)??醫(yī)療水平?傳染病不蔓延的條件——s0<1/??的估計(jì)降低s0提高r0提高閾值1/?降低?(=?/?)??,??群體免疫模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計(jì)記被傳染人數(shù)比例x<

6、值Q(t)F為待定函數(shù)資金K(t)勞動(dòng)力L(t)技術(shù)f(t)=f0模型假設(shè)靜態(tài)模型每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值每個(gè)勞動(dòng)力的投資z隨著y的增加而增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)速度遞減yg(y)01.道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)含義？Douglas生產(chǎn)函數(shù)QK~單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值QL~單位勞動(dòng)力創(chuàng)造的產(chǎn)值?~資金在產(chǎn)值中的份額1-?~勞動(dòng)力在產(chǎn)值中的份額更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)1.Douglas生產(chǎn)函數(shù)w?,r?,???K/L?求資金與勞動(dòng)力的分配比例K/L(每個(gè)勞動(dòng)力占有的資金)，使效益S最大資金和勞動(dòng)力創(chuàng)造的效益資

7、金來自貸款，利率r勞動(dòng)力付工資w2）資金與勞動(dòng)力的最佳分配（靜態(tài)模型）3)經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長(zhǎng)的條件(動(dòng)態(tài)模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增長(zhǎng),K(t),L(t)應(yīng)滿足的條件模型假設(shè)投資增長(zhǎng)率與產(chǎn)值成正比(用一定比例擴(kuò)大再生產(chǎn))勞動(dòng)力相對(duì)增長(zhǎng)率為常數(shù)Bernoulli方程產(chǎn)值Q(t)增長(zhǎng)dQ/dt>03)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件勞動(dòng)力增長(zhǎng)率小于初始投資增長(zhǎng)率每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值Z(t)=Q(t)/L(t)增長(zhǎng)dZ/dt>03)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件5.3正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)戰(zhàn)爭(zhēng)分類：正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)，游擊戰(zhàn)爭(zhēng)，混合戰(zhàn)爭(zhēng)只考慮雙方兵

8、力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會(huì)領(lǐng)域的實(shí)際問題提供了可借鑒的示例第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測(cè)戰(zhàn)役結(jié)局的模型一般模型每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比甲乙雙方的增援率為u(t),v(t)f,g取決于戰(zhàn)爭(zhēng)類型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假設(shè)模型正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)