單級倒立擺LQR控制.doc

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1、單級倒立擺LQR控制1、建模在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如下圖所示。FθXM其中：M小車質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車摩擦系數(shù)l擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度I擺桿慣量F加在小車上的力x小車位置φ擺桿與垂直向上方向的夾角θ擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）采用牛頓動力學方法可建立單級倒立擺系統(tǒng)的微分方程如下：倒立擺的平衡是使倒立擺的擺桿垂直于水平方向倒立，所以假設(shè)，為足夠小的角度，即可近似處理得：，，。用u來代表被控對象的輸入力F，線性化后兩個方程如下：取狀態(tài)變量：即擺桿的角度和角速度以及小車的位移和速度四個狀態(tài)變量。則系

2、統(tǒng)的狀態(tài)方程為：將上式寫成向量和矩陣的形式，就成為線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程：這里設(shè)：將參數(shù)帶入，有：2、LQR控制線性二次型是指系統(tǒng)的狀態(tài)方程是線性的，指標函數(shù)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型。考慮線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：找一狀態(tài)反饋控制律：，使得二次型性能指標最小化：其中，為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；、為起始時間與終止時間；為終態(tài)約束矩陣；為運動約束矩陣；為約束控制矩陣。其中、決定了系統(tǒng)誤差與控制能量消耗之間的相對重要性。為使最小，由最小值原理得到最優(yōu)控制為：式中，矩陣為微分Riccatti方程：的解。如果令終止時間，為一個常數(shù)矩陣，且，因此以上的Riccatti方程簡化為。對于最優(yōu)反饋系數(shù)矩陣，使用Ma

3、tlab中專門的求解工具lqr()來求取。將LQR控制方法用于倒立擺控制的原理如下圖所示。用Matlab求解lqr(A,B,Q,R)可以求出最優(yōu)反饋系數(shù)矩陣的值。lqr函數(shù)需要選擇兩個參數(shù)和，這兩個參數(shù)是用來平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重。其中，代表擺桿角度的權(quán)重，而是小車位置的權(quán)重。這里選擇：通過matlab求得：K=[-82.4246-10.7034-10.0000-11.8512]。3、仿真通過matlab仿真，LQR控制倒立擺擺角和小車位移仿真結(jié)果如下圖所示。倒立擺擺角：小車位移：4、心得體會通過對最優(yōu)控制這門課階段性的學習，對控制理論有了更深一步的理解。在把課上學到的方法應(yīng)用到實際

4、問題的解決中，拓寬了思路，開拓了事業(yè)，受益匪淺。感謝老師對我們悉心的指導，感謝同學們對自己的幫助。