資源描述：
《處處連續(xù)處處不可導函數》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、維普資訊http://www.cqvip.com高等數學研究VoL9,No．12STUDIESINCOIIEGEMATHATICSJan．，2006■衄數學分析課程中的一個反例。——處處連續(xù)處處不可導的函數陳紀修邱維元(復旦大學數學科學學院上海200433)摘要介紹數學分析課程中處處連續(xù)但處處不可導函數的教學，通過電子課件演示函數的圖象，使學生理解這一類函數的局部與整體的某種相似性質，并對。分形概念有一個初步的了解．關鍵詞連續(xù)I可導IWeierstrass函數中田分類號O172．1，G642．11．Weierstrass反
2、例在數學分析的歷史發(fā)展過程中，數學家們一直猜想：連續(xù)函數在其定義區(qū)間上，至多除去可列個點外都是可導的．也就是說，連續(xù)函數的不可導點至多是可列集．直到19世紀初，數學家們仍然在致力于證明這一猜想．然而數學家們的這一努力一直沒有得到成功，究其原因，是由于在當時，關于函數的表示手段有限，如果僅僅從初等函數或從分段初等函數表示的角度出發(fā)去考慮，這個猜想是正確的．但是隨著級數理論的發(fā)展，函數表示的手段擴展了，數學家可以通過函數項級數來表示更廣泛的函數類．Weierstrass是一位研究級數理論的大師，他于1872年利用函數項級數第一
3、個構造出了一個處處連續(xù)而處處不可導的函數(稱為Weierstrass函數)：，()一∑口”sin(b"x)，0<口<11，^_O為上述猜測做了一個否定的終結．KarlWeierstrass(1815—1897)是19世紀德國數學家，他在數學的許多領域如分析學、代數學、解析函數論、變分學、微分幾何等眾多學科都作出了重大貢獻，其中不少成果是在他做中學教師時取得的．1856年，柯尼斯堡大學授于他名譽博士學位，1865年他被聘為柏林大學教授，后來成為法國巴黎科學院院士．Weierstrass是數學分析基礎的主要奠基者之
4、一，是把嚴格的數學論證引進分析學的一位大師．Weierstrass利用單調有界的有理數數列來定義無理數，從而在嚴格的邏輯基礎上建立了實數理論l關于連續(xù)函數的分析定義(即e一艿語言)也是他給出的，這些貢獻使得數學分析的敘述精確化，論證嚴格化．在數學分析課程中，除了第一個給出處處連續(xù)處處不可導函數的例子外，以Weierstrass名字命名的還有Weiexstrass第一逼近定理與Weierstrass第二逼近定理，函數項級數與含參變量反常積分的Weiexstrass判別法等重要定理．Weierstrass還是一位著名的教育學家
5、，他培養(yǎng)了一大批數學家，如：H．A．Schwarz，LLFuchs，MG．1YIittag~Leffler，F．Schottky等等．Weierstrass例子的證明較為復雜，不適合放到數學分析課程的教學中。在1930年，荷蘭數學家VanderWaerden給出了另外一個例子．VanderWaerdeu的例子在思想方法上與Weierstrass的例子是一致的，但它的證明卻很簡單，而且初等．VanderWaerden的例子使得在數學分析課程中介紹處處連續(xù)處處不可導的函數成為可能．2．VanderWaerden反例及其證明設(
6、)表示與最鄰近的整數之間的距離，例如當士===1．26，則()0．26；當士=；=3．67，·收稿日期t05—10—09注·本文作者之一陳紀肇為2003年首屆國家。百名高校教學名師獎獲得者．維普資訊http://www.cqvip.com第9卷第1期陳紀修，邱維元t數學分析課程中的一個反例3則(z)一0．33．顯然()≤1／2，是周期為1的連續(xù)函數，且具有以下性質：當X，∈[，k+1／2]或[七+1／2，k+1]時，l(z)一()}一}X—Y}．vanderwaerden給出的例子是：，(z)=妻．由II≤，及薹的收斂性，
7、根據weierstrass判別法，上述函數項級數關于∈(一o。，+o。)一致收斂．所以，(z)在(一o。，+。o)連續(xù)．現考慮，(z)在任意一點X的可導性．由于，(z)的周期性，不妨設0≤X<1，并將X表示成無限小數X=0．以以。?n?．若z是有限小數時，則在后面添上無窮多個0．然后我們取，f10一，當n一0，1，2，3，5，6，7，8，===一‘【一10一，當n一4，9，如X一0．309546?，則取h1===lo一，h2=lO～，h3=一lO～，h4lO～，h5一lO一，h6一lO一，?．顯然h一o(oo)。只要證明極
8、限lim羔±不存在，就說明，(衛(wèi))在點z不可導．±壘二一翌三：±壘翌．二翌；hlO”h：±壘二翌9：lO”h+量業(yè)當≥時，(1O(+h))===(10”X士1O)===9(10z)，所以蘭±壘!．二一：翌±壘!翌：h,／J10”h‘：0當=0，1，2，?，～1，在10“X的表示中a的位置是第一位小數，l
