3、2x1
4、.13:、求滿足方程(∫∫f(x)dx)(dx)=?1fx()的所有函數(shù)f()x.解:(令uf==∫x)dx,u'f(x),代入方程得:111ud∫∫x=?=1,即:dx?,uu''u1122求導(dǎo)得:'==uu,即:(')u,2uu'±xuu',=±u=Ce，±±xx即Ce==∫fx()dx，求導(dǎo)得：fx()Ce。4、長(zhǎng)為l的均勻鏈條放在一水平無(wú)摩擦
5、的桌面上,鏈條在桌邊懸掛下來(lái)的長(zhǎng)度為b,求由重力使鏈條全部滑落桌面所需的時(shí)間.解：設(shè)時(shí)刻t時(shí)鏈條在桌邊下垂的部分的長(zhǎng)度為xx=()t,并記鏈條的線密度為u,則有:2?dx?ul=uxg,2?dt??xb(0)=,x'(0)=0。ggb??tt?解得:xe=+??lle,2????22ll+?lb當(dāng)時(shí)xl==,ltn。gb5:、求方程yy"+=+xcosx的通解.解::對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為Cxcos+Csinx.12設(shè)y":+=yx的特解為y=Ax+B,1代入方程得:1A=,0By=?.=x.1設(shè)方程yy"c+=osx的特解為:y=+Excos
6、xDxsinx,21代入方程得:0ED=,=.21通解為:cy=+CxosCsinx+x+sinx。1226、求方程的通解x"cyxos?2y'sinx+=3ycosxe。解:c令uy=osx,對(duì)x求導(dǎo)得:uy''=?cosxysinx,uy"=?"cosx2y'sinx?ycosx.x方程化為:"uu+4=e。通解為:1xuC=+cos2xCsin2x+e,即125cos2x1xyC=+2sCinx+e。12cosxx5cosxx2x?x7:、已知yx=e+=e,yxe+e,12xx2?xyx=+ee?e,為某二階線性3非齊次微分方程的三個(gè)解
7、,.求此方程2x?x解法1:由解的結(jié)構(gòu)定理知e,e是相應(yīng)的齊次x方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,xe是非齊次方程的一個(gè)特解,設(shè)此方程為:y"'??yy2=f(x).xxx將y==xe代入上式,:得f(x)e?2xe.xx所以方程為:"y?yy'?=2e?2xe。2x?x解法2:由解的結(jié)構(gòu)定理知e,e是相應(yīng)的齊次x方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,xe是非齊次方程的一個(gè)特解,所以xxx?y=+xeCe+Ce12為所求非齊次方程的通解,:從而有xxx2?xye'2=+xe+Ce?Ce,12xxx2?xye"2=++xe4Ce+Ce,12xx消去CC,得方程：yy"'
8、??=2ye?2xe。128.從海上向海中沉放某種探測(cè)儀器,按探測(cè)要求,須測(cè)定一起下沉深度y與下沉速度v之間的關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下由海平面開(kāi)始鉗直下沉,受到浮力和重力的作用.設(shè)儀器的質(zhì)量為m體積為B,海水的比重為ρ,一起所受的阻力與下沉速度成正比,比例系數(shù)為k(k>0),試建立y與v滿足的微分方程,并求解出函數(shù)關(guān)系式………..(98.數(shù)一,6分)解解::取開(kāi)始下沉點(diǎn)為原點(diǎn)取開(kāi)始下沉點(diǎn)為原點(diǎn)O,O,豎直向下為正方向豎直向下為正方向,,得方程得方程::2dym=mg?Bρ?kv,2dt2dydv將=vt代入消去,:得v與y之間的微分方程2dtd
9、ydvmv=??mgBρkv.dymv分離變量:,dy=dv積分得:mg??Bρkvmm()mg?Bρyv=??ln(mg?Bρ?kv)+C.2kk由初始條件v=0,得y=0mg?BρCm=?ln(gBρ),2k所以所求的函數(shù)式為:mm()mg?Bmρg??Bkρvyv=??ln()。2kkmg?Bρ9.設(shè)函數(shù)y(x),(x≥0)二階可導(dǎo),y'(x)>0,y(0)=1,過(guò)曲線上任意一點(diǎn)P(x,y),作該曲線的切線及x軸的垂線,上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積為S1,區(qū)間[0,x]上以y=y(x)為曲邊的曲邊梯形面積為S,設(shè)2S-S恒為1,求
10、曲線的方程.212y(99.數(shù)1,6分)P(,xy)QOx解:(曲線yy=x)上點(diǎn)P(x,y)處的切線為:Yy?=y'(x)(X?x).y它與xx軸的
