例談多變量問(wèn)題的解題策略

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1、《數(shù)學(xué)之友》2013年第12期例談多變量問(wèn)題的解題策略解題探索司緒榮(江蘇省沭陽(yáng)如東中學(xué)，223600)在每年的高考中，都會(huì)遇到一些多變量問(wèn)題的g(37)在區(qū)間(o，】上單調(diào)遞增，在區(qū)間[1，1]I--~考題，由于變量較多，很多考生感到無(wú)從下手，即使有點(diǎn)想法，但由于分不清主次，導(dǎo)致最后無(wú)法得到分調(diào)遞減，因此g(x)一=gf÷)=4，從而0≥4；數(shù)，未免可惜．多變量問(wèn)題大多是求參數(shù)范圍的問(wèn)當(dāng)<0，即[一1，0)時(shí)√^()=似一3x+lI>0，題．這些問(wèn)題因與數(shù)學(xué)思想方法聯(lián)系緊密而使學(xué)生感到困難．然而，相當(dāng)一部分題目都可以進(jìn)行分類討可化為口≤一，

2、g，()：>o，g()在論解決，使得做題的正確率大大提高．下面通過(guò)具體區(qū)問(wèn)[一1，0)上單調(diào)遞增，因此g()=g(一1)=的例子說(shuō)明如何使用變量分離或變換主元法解決多4，從而口≤4，綜上口=4．變量問(wèn)題．點(diǎn)評(píng)：首先對(duì)不等式進(jìn)行變形得a3；?！?一1，要1分離變量法想變量分離，就必須考慮，當(dāng)=0時(shí)，恒成立；當(dāng)≠0時(shí)，就可以變成0≥g()或口≤g()的情形，從分離變量法是通過(guò)將兩個(gè)變量構(gòu)成的不等式而變成求函數(shù)g(37)的最值問(wèn)題．(方程)變形到不等號(hào)(等號(hào))兩端，使兩端變量各自1．2解決存在性問(wèn)題相同，解決有關(guān)不等式恒成立、不等式存在(有)解依據(jù)

3、：不等式f()≥g(a)存在解甘[廠()]和方程有解中參數(shù)取值范圍的一種方法．≥g()(求解廠()的最大值)；不等式)≤g(n)解決問(wèn)題的關(guān)鍵：分離變量之后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在解錚[f()]；≤g(口)(即求解f()的最小求函數(shù)的最值或值域的問(wèn)題．分離變量后，對(duì)于不同值)．問(wèn)題我們有不同的理論依據(jù)可以遵循．1．1解決恒成立問(wèn)題例2已知函數(shù))=÷毗+2x(a#O)，g(37)依據(jù)：不等式37)≥g(a)恒成立甘[)]i≥=lnx．若h(37)=)一g()存在單調(diào)遞增區(qū)間，求g(a)(求解)的最小值)；不等式)≤g(17,)恒口的取值范圍．成立錚)]

4、≤g(口)(求解)的最大值)．分析：?jiǎn)栴}的本質(zhì)是存在>0使得h()I>0，例1(08江蘇14)設(shè)函數(shù))=似一3x+1進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，()：蘭二≥0在>0上有(∈R)，若對(duì)于任意的戈∈[一1，1]都有37)≥0成立，則實(shí)數(shù)口的值為．解，即似+2x一1≥0在>0上有解，進(jìn)而又可以分析：本小題考查函數(shù)單調(diào)性的綜合運(yùn)用．轉(zhuǎn)變成存在>0使得口≥這就轉(zhuǎn)化為n≥本題是O8江蘇卷的第l4題，是填空題的壓軸題，有兩個(gè)變量，其中一個(gè)已知，求另一個(gè)變量的取=g(37)，此時(shí)要注意是求g(37)的最大值還是值范圍，自然想到變量分離，這時(shí)就要考慮。與零的關(guān)系，是否導(dǎo)致不等

5、號(hào)改變方向．最小值．是存在性問(wèn)題，所以只需口≥g()i(>解：若37=0，則不論口取何值，，()≥O顯然0)，得口≥『L1J．m

6、n成立；點(diǎn)評(píng)：本題如果不采用變量分離，則在求解時(shí)很當(dāng)>0，最口∈(0，1]時(shí)√^()=n。一3x+lI>0容易出錯(cuò)．即使采用變量分離，但是仍要注意是求可化為：口≥專一g(37)的最小值而不是g(37)的最大值．1．3解決方程有解問(wèn)題設(shè)g()：一，則g，()：，所以依據(jù)：方程)=g(口)有解甘g(口)的范圍=·72·《數(shù)學(xué)之友》2013年第12期)的值域(求)的值域)．所以得知，例3若關(guān)于的方程(一2)+一2a+1=

7、0有解，求實(shí)數(shù)口的取值范圍．解之得{_一<：<2’即一l<<2．分析：很多學(xué)生看到本題，大多想到判別式法，tx>一仔細(xì)看實(shí)際是雙變量的問(wèn)題，≠2是顯然的，此時(shí)點(diǎn)評(píng)：本題在求解的時(shí)候，選定了n作為主元，此時(shí)函數(shù)是一次函數(shù)，然后變成了求一次函數(shù)的最方程就可以轉(zhuǎn)化為。：一二，進(jìn)而可化為小值問(wèn)題，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)潔解決．口=一2．2解析幾何中的定點(diǎn)問(wèn)題【(x-2)+】，令g()=一[(x-2)+08、09兩年江蘇的高考題中的解析幾何題都是只需求出g()的值域，問(wèn)題就可解決．定點(diǎn)問(wèn)題，這類問(wèn)題里，變量很多，學(xué)生往往不知從解：因?yàn)閤#2顯然，所以方程可轉(zhuǎn)化為

8、何下手，事實(shí)上，如果選定主元，去掉其它元素，這類口一，令)一，．問(wèn)題也能很快解決．例5(09江蘇l8)在平則g()=一Ix一2)+l，令一2=￡，面直角坐標(biāo)系中，已知圓，o·則當(dāng)t>0時(shí)，g(x)≤一2；當(dāng)t<0時(shí)，g()>12，C1：(+3)+(Y一1)=4和＼／01所以當(dāng)a∈(一∞，一2]u[2，+∞)時(shí)方程(一2)圓C2：(一4)+(Y一5)+似一2a+1=0有解．=4．點(diǎn)評(píng)：本題的求解策略是將方程問(wèn)題通過(guò)變量(1)若直線z過(guò)點(diǎn)A(4，0)，且被圓c截得的弦分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問(wèn)題，從而使得問(wèn)題得以簡(jiǎn)長(zhǎng)為2，求直線z的方程．單的解決．

9、當(dāng)然這題還可以改編成：(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)尸的無(wú)窮若關(guān)于的方程(一2)+礎(chǔ)一2a+1=0有兩多對(duì)互相垂直的直線z和f2，它們分別與圓c和圓C2個(gè)不