例談多變量問題的解題策略

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1、《數(shù)學(xué)之友》2013年第12期例談多變量問題的解題策略解題探索司緒榮(江蘇省沭陽如東中學(xué)，223600)在每年的高考中，都會遇到一些多變量問題的g(37)在區(qū)間(o，】上單調(diào)遞增，在區(qū)間[1，1]I--~考題，由于變量較多，很多考生感到無從下手，即使有點想法，但由于分不清主次，導(dǎo)致最后無法得到分調(diào)遞減，因此g(x)一=gf÷)=4，從而0≥4；數(shù)，未免可惜．多變量問題大多是求參數(shù)范圍的問當(dāng)<0，即[一1，0)時√^()=似一3x+lI>0，題．這些問題因與數(shù)學(xué)思想方法聯(lián)系緊密而使學(xué)生感到困難．然而，相當(dāng)一部分題目都可以進行分類討可化為口≤一，g，()：>o，

2、g()在論解決，使得做題的正確率大大提高．下面通過具體區(qū)問[一1，0)上單調(diào)遞增，因此g()=g(一1)=的例子說明如何使用變量分離或變換主元法解決多4，從而口≤4，綜上口=4．變量問題．點評：首先對不等式進行變形得a3；。≥3一1，要1分離變量法想變量分離，就必須考慮，當(dāng)=0時，恒成立；當(dāng)≠0時，就可以變成0≥g()或口≤g()的情形，從分離變量法是通過將兩個變量構(gòu)成的不等式而變成求函數(shù)g(37)的最值問題．(方程)變形到不等號(等號)兩端，使兩端變量各自1．2解決存在性問題相同，解決有關(guān)不等式恒成立、不等式存在(有)解依據(jù)：不等式f()≥g(a)存在解甘

3、[廠()]和方程有解中參數(shù)取值范圍的一種方法．≥g()(求解廠()的最大值)；不等式)≤g(n)解決問題的關(guān)鍵：分離變量之后將問題轉(zhuǎn)化為存在解錚[f()]；≤g(口)(即求解f()的最小求函數(shù)的最值或值域的問題．分離變量后，對于不同值)．問題我們有不同的理論依據(jù)可以遵循．1．1解決恒成立問題例2已知函數(shù))=÷毗+2x(a#O)，g(37)依據(jù)：不等式37)≥g(a)恒成立甘[)]i≥=lnx．若h(37)=)一g()存在單調(diào)遞增區(qū)間，求g(a)(求解)的最小值)；不等式)≤g(17,)恒口的取值范圍．成立錚)]≤g(口)(求解)的最大值)．分析：問題的本質(zhì)是

4、存在>0使得h()I>0，例1(08江蘇14)設(shè)函數(shù))=似一3x+1進而轉(zhuǎn)化為，()：蘭二≥0在>0上有(∈R)，若對于任意的戈∈[一1，1]都有37)≥0成立，則實數(shù)口的值為．解，即似+2x一1≥0在>0上有解，進而又可以分析：本小題考查函數(shù)單調(diào)性的綜合運用．轉(zhuǎn)變成存在>0使得口≥這就轉(zhuǎn)化為n≥本題是O8江蘇卷的第l4題，是填空題的壓軸題，有兩個變量，其中一個已知，求另一個變量的取=g(37)，此時要注意是求g(37)的最大值還是值范圍，自然想到變量分離，這時就要考慮。與零的關(guān)系，是否導(dǎo)致不等號改變方向．最小值．是存在性問題，所以只需口≥g()i(>解：若

5、37=0，則不論口取何值，，()≥O顯然0)，得口≥『L1J．m

6、n成立；點評：本題如果不采用變量分離，則在求解時很當(dāng)>0，最口∈(0，1]時√^()=n。一3x+lI>0容易出錯．即使采用變量分離，但是仍要注意是求可化為：口≥專一g(37)的最小值而不是g(37)的最大值．1．3解決方程有解問題設(shè)g()：一，則g，()：，所以依據(jù)：方程)=g(口)有解甘g(口)的范圍=·72·《數(shù)學(xué)之友》2013年第12期)的值域(求)的值域)．所以得知，例3若關(guān)于的方程(一2)+一2a+1=0有解，求實數(shù)口的取值范圍．解之得{_一<：<2’即一l<<2．分析：很多學(xué)生看

7、到本題，大多想到判別式法，tx>一仔細看實際是雙變量的問題，≠2是顯然的，此時點評：本題在求解的時候，選定了n作為主元，此時函數(shù)是一次函數(shù)，然后變成了求一次函數(shù)的最方程就可以轉(zhuǎn)化為。：一二，進而可化為小值問題，使問題得以簡潔解決．口=一2．2解析幾何中的定點問題【(x-2)+】，令g()=一[(x-2)+08、09兩年江蘇的高考題中的解析幾何題都是只需求出g()的值域，問題就可解決．定點問題，這類問題里，變量很多，學(xué)生往往不知從解：因為x#2顯然，所以方程可轉(zhuǎn)化為何下手，事實上，如果選定主元，去掉其它元素，這類口一，令)一，．問題也能很快解決．例5(09江蘇

8、l8)在平則g()=一Ix一2)+l，令一2=￡，面直角坐標(biāo)系中，已知圓，o·則當(dāng)t>0時，g(x)≤一2；當(dāng)t<0時，g()>12，C1：(+3)+(Y一1)=4和＼／01所以當(dāng)a∈(一∞，一2]u[2，+∞)時方程(一2)圓C2：(一4)+(Y一5)+似一2a+1=0有解．=4．點評：本題的求解策略是將方程問題通過變量(1)若直線z過點A(4，0)，且被圓c截得的弦分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題，從而使得問題得以簡長為2，求直線z的方程．單的解決．當(dāng)然這題還可以改編成：(2)設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點尸的無窮若關(guān)于的方程(一2)+礎(chǔ)一2a+1=0有兩多

9、對互相垂直的直線z和f2，它們分別與圓c和圓C2個不