平面問題主應(yīng)力與主應(yīng)變方向確定的簡(jiǎn)捷方法

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1、維普資訊http://www.cqvip.com洛陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)2007年第2期平面問題主應(yīng)力與主應(yīng)變方向確定的簡(jiǎn)捷方法楊俊森，李作良，徐紅玉，王彥生(河南科技大學(xué)建筑工程學(xué)院，河南洛陽471003)摘要：平面應(yīng)力和平面應(yīng)變狀態(tài)下主應(yīng)力和主應(yīng)變方向的確定，無論是在工程應(yīng)用還是在材料力學(xué)教學(xué)中都是非常重要的難點(diǎn)。本文提出了一種既易于理解又便于掌握的簡(jiǎn)捷實(shí)用方法。關(guān)鍵詞：平面應(yīng)力狀態(tài)；主應(yīng)力；平面應(yīng)變；簡(jiǎn)捷方法中圖分類號(hào)：G642．474文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1009—4790(2007)02-0157—03收稿日期：2006一l1—16作者簡(jiǎn)介：楊俊森(1954一)，男，河南淅川人，講師

2、。可以求得。但問題在于由式(2)求出的是相差901問題的提出度的兩個(gè)角度，即圖1中兩個(gè)主應(yīng)力與兩個(gè)主方對(duì)于圖1所示基本單元體的應(yīng)力圖，0-向角如何對(duì)應(yīng)。由文獻(xiàn)[1]可知：在平面和Ot。的符號(hào)規(guī)定在一般材料力學(xué)教應(yīng)變狀態(tài)分析中的、、等分別相當(dāng)于二材中都是一致的，為敘述方便而又不失一般性，將xy平面內(nèi)的最大與最小正應(yīng)力(即主應(yīng)力)分向應(yīng)力狀態(tài)中的且有公式：別記為、，同時(shí)對(duì)應(yīng)地將0-與軸正向之間的夾角記為Ot，將0-與軸正向之間的夾角：}=字±√cc，記為Ot，則由文獻(xiàn)[1]有：(3)J’ttan2一(4)同樣存在著僅由公式無法確定主應(yīng)變、與主應(yīng)變方向角OtOt之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。近年來也有不少論

3、文t·，·對(duì)該問題做了論述，歸納起來有以下幾中方法：———1．借助應(yīng)力圓或應(yīng)變圓通過圖解法來判斷第一主應(yīng)力或主應(yīng)變及其方位角。2．先利用式(2)或式(4)求出。、Ot。+,-f代人任意斜截面的應(yīng)力或應(yīng)變公式求出兩個(gè)代數(shù)值，根據(jù)代數(shù)值的大小來判定何為()、0"2圖1平面基本單元應(yīng)力圖(2)，以及l(fā)、Ot2。3．由式(2)中分子及分母的正負(fù)號(hào)判斷2。O"10"max0"x-所在的象限，再結(jié)合圖1中與的矢量方向==·，2

4、li2I-0"y一√、0"x2-0">'，2’。2確定、的方向。(1)4．利用高等數(shù)學(xué)中求極值的方法，由式(2)tan2。：一(2)求得Oto以及。+孚，代入導(dǎo)并確定其代數(shù)值

5、一由公式(1)、(2)，兩個(gè)主應(yīng)力的大小和方向的正負(fù)符號(hào)，從數(shù)學(xué)角度判斷的極大、極小值維普資訊http://www.cqvip.com·l58·洛陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)2007年第2期上以、Y為法線的平面上的應(yīng)力，A(，0)、后確定、的方向。5．由力的疊加原理知：的方位在和A(，0)分別對(duì)應(yīng)第一、第二主平面上的應(yīng)作用下，單元體伸長(zhǎng)的趨勢(shì)方向和代數(shù)值較大的力。正應(yīng)力或的方位線之間。2．過點(diǎn)D作AA的平行線交莫爾應(yīng)力圓于綜上所述的常用方法中：圖解法精度難以保D點(diǎn)，自點(diǎn)D向點(diǎn)A引直線段DA。證且不便電算；給出一般判別式后，還需要附加3．由圓弧AD同弧所對(duì)圓周角／DDA與單元體圖加以判斷，雖然物理意義較

6、清楚，但操圓心角／DCA1之間的關(guān)系可知／DDA1=，并作略顯繁瑣；純數(shù)學(xué)推導(dǎo)雖簡(jiǎn)潔明了，但物理意由幾何關(guān)系得到：義不清楚，理解上偏難。因此本文在給出簡(jiǎn)捷判1一A1B脅％—(DD1+D1D—+DB)-DD1斷方法的同時(shí)也通過應(yīng)力圓加以證明，既保證學(xué)EE生易于理解，又有明確的物理意義，在理解的基：=一一一：=一(～-／)，0"1一oYoY一0"1礎(chǔ)上很容易掌握該方法。2解決問題的方法及其公式由于定義在[一手，予】中，故證明過程各線段是有向線段的值，它們的參考正向分別與首先由公式(1)可求出兩個(gè)主應(yīng)力，然后由、的正向一致。由于圖2中，確定的是叮r的-／,方向，故0【1=0【0。(4)由于平面

7、應(yīng)變公式與平面應(yīng)力公式在數(shù)／．學(xué)結(jié)構(gòu)上一致，即、y、分別與y、相對(duì)應(yīng)，從而第一主應(yīng)變方向角公式為：Dtc，’，、)，／}’tan~1=去㈣3應(yīng)用算例圖2二向應(yīng)力圓例1已知基本單元體的應(yīng)力狀態(tài)如圖3所下式(5)、(6)：示，其中應(yīng)力單位為MPa，試用解析法求主應(yīng)力tan(5)大小及方向。tan，：—(6)一0"2即可直接求得第一、第二主應(yīng)力方向角、。其中各物理量的正負(fù)規(guī)定與教材所規(guī)定的一O致。事實(shí)上，規(guī)定lxl，lxl均在以內(nèi)，由于相鄰的主平面互相垂直，則II+II=90。，圖3基本單元體的應(yīng)力狀態(tài)所以只需用式(5)確定出第一主應(yīng)力方向與解：軸之夾角，而自軸向與相反的方向旋轉(zhuǎn)1．如設(shè)軸水平

8、向右，Y軸豎直向上則有：(90。一I，I)角度就可確定第二主應(yīng)力方向。從=一70MPa，=0，=50MPa，于是由公式而在實(shí)際運(yùn)用中確定出第一主應(yīng)力方向角，利(1)得：用互余關(guān)系，可以方便地確定第二主應(yīng)力方向角-70+0—?，F(xiàn)在用莫爾應(yīng)力圖法證明公式(5)。：—丁±√(丁孽)：一96MPa證明1=26MPa，2=0，3=一96MPa1．按莫爾作圓畫出應(yīng)力圓如圖2所示。圖2中D(，)、E(，)分別表示單元體第一主應(yīng)力方位角為：維普資訊