圓的面積:從歷史到課堂-論文.pdf

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1、上海中學(xué)數(shù)學(xué)·2014年第5期圓的面積:從歷史到課堂200000上海市共富實(shí)驗(yàn)學(xué)校高燕胡媛關(guān)于數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值,學(xué)術(shù)界已經(jīng)有命題圓面積等于一條直角邊長為圓半徑、另過廣泛而深入的討論.從知識目標(biāo)上說,數(shù)學(xué)史幫助一條直角邊長為圓周長的直角三角形面積.學(xué)生理解數(shù)學(xué);從過程與方法目標(biāo)上說,數(shù)學(xué)史提供設(shè)圓的半徑為r,周長為C,阿基米德作圓內(nèi)接了豐富的問題解決方法,可以拓寬學(xué)生的思維;從情和外切正行多邊形(面積分別為S。和S7。),根據(jù)感、態(tài)度和價(jià)值觀的目標(biāo)上說,數(shù)學(xué)史增加學(xué)生的學(xué)11s。<寺Cr

2、、厶厶更令人愉悅、更激動人心,揭示出數(shù)學(xué)作為人類文化中國漢代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了正確的活動的本質(zhì).這些價(jià)值在數(shù)學(xué)課堂上究竟能否實(shí)現(xiàn)?圓面積公式:“半周半徑相乘,得積步.”即圓面積等筆者在滬太路教育發(fā)展區(qū)項(xiàng)目“HPM與初中數(shù)學(xué)于半周乘以半徑.這個公式怎么來的?三國時(shí)代布教師專業(yè)發(fā)展”的引領(lǐng)下,在六年級上學(xué)期“圓的面衣數(shù)學(xué)家劉徽給出了證明.積”的教學(xué)中融人數(shù)學(xué)史,通過課堂觀察、問卷調(diào)查和訪談,收集學(xué)生的反饋信息,并結(jié)合專家和聽課教師的反應(yīng),得出結(jié)論,從而對上述問題作出回答.箴珍.1圓面積公式的歷史盡管古代巴比倫人和埃及人在丈量土地時(shí)遇到了圓面積問題,但他們并沒有準(zhǔn)確的圓面積

3、計(jì)算公留p‘式.根據(jù)泥版YBC7302上的記載,圓面積和圓周長圖2圓內(nèi)接2n邊形由"個箏形組成1之間的關(guān)系為5一去C!.而古埃及紙草書上記載的如圖2,圓內(nèi)接正2行邊形的面積是由行個箏形圓面積計(jì)算公式是S—f娶11一萼等.(即四邊形0ADB)組成的,而每一個箏形的面積為\了/.0111在古希臘,求圓面積(即“化圓為方”)乃是三大寺口。R,故得S:。一÷nn。R.劉徽說:“割之彌細(xì),所失厶厶幾何難題之一.公元前5世紀(jì),著名哲學(xué)家阿那克薩彌少.割之又割,以至于不可割,則與圓合體,而無所哥拉為追求真理而放棄財(cái)產(chǎn),身陷囹圄,在鐵窗下依失矣.”用今天的數(shù)學(xué)語言來說,這就是:然研究“化圓為方

4、”問題,可見這個問題的魅力.著名辯士、詩人安提豐首次采用圓內(nèi)接正多邊形來解決11S—limS2。一lim寺na。R一÷CR."一””二(‘‘“化圓為方”問題.如圖1,從圓內(nèi)接正方形出發(fā),不斷倍增邊數(shù),安提豐說,當(dāng)邊數(shù)無限多時(shí),圓就被化17世紀(jì)譽(yù)滿歐洲的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家開普勒成了方,即求出了圓面積.雖然這只是空中樓閣,但在第二次婚姻的婚禮上,在思考酒桶體積算法時(shí),首安提豐的逼近思想為后來的阿基米德所采用.先想出了圓面積的計(jì)算方法.如圖3,將圓分割成無數(shù)個頂點(diǎn)在圓心、高為半徑的小“三角形”(其實(shí)是小扇形,但圓分得越細(xì),小扇形越接近三角形).將這些小“三角形”都轉(zhuǎn)變成等底等高的三角形

5、,最后,它們◎o構(gòu)成了一個直角三角形.圖1安提豐的“化圓為方”方案歐幾里得在《幾何原本》中給出命題:兩個圓的面積之比等于它們的直徑之比,但他并沒有給出圓面積的計(jì)算公式.阿基米德(公元前287~公元前212)最早給出圓面積的準(zhǔn)確公式.圖3開普勒求圓面積的法2上海中學(xué)數(shù)學(xué)·2014年第5期即S一∑丟∥一丟Cr一∥zD2歷史材料的選擇{將數(shù)學(xué)史融人數(shù)學(xué)教學(xué),必須遵循以下原則.ABCDEF(1)趣味性.教學(xué)內(nèi)容應(yīng)讓學(xué)生覺得有趣才行,應(yīng)該講述數(shù)學(xué)背后的故事(當(dāng)然,不能占太多時(shí)間).圖4等底等高的三角形面積相等(2)科學(xué)性.教學(xué)內(nèi)容應(yīng)符合史實(shí),而不是胡亂何畫板不易實(shí)現(xiàn),也不易為六年級學(xué)生所

6、理解.有鑒編造,數(shù)學(xué)上不能有錯誤.于此,教師將圓內(nèi)接正,z邊形中的每一個小三角形(3)有效性.不是為數(shù)學(xué)史而數(shù)學(xué)史,而是為有各進(jìn)行等積變換,并將它們依次拼接起來,最后形成效地完成三維目標(biāo)而應(yīng)用數(shù)學(xué)史.一個與圓內(nèi)接正咒邊形等積的直角三角形.將圓分(4)可接受性.教學(xué)設(shè)計(jì)一定要符合學(xué)生的認(rèn)割得越來越細(xì),即當(dāng)竹越來越大時(shí),直角三角形的一知基礎(chǔ),易于為學(xué)生接受.條直角邊越來越接近圓的半徑,另一條直角邊越來(5)創(chuàng)新性.HPM視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)必須有新1越接近圓的周長,從而得出圓面積公式S一去Cr一意、有特色,對教師專業(yè)發(fā)展起引領(lǐng)作用.厶基于這些原則,考查圓面積的歷史素材.首先,丌r2.如

7、圖5、6所示.學(xué)生已經(jīng)學(xué)過圓周長概念,教學(xué)中需要讓學(xué)生看到:(4)例題、練習(xí).僅僅知道周長還不夠,還需要計(jì)算面積.其次,如何(5)小結(jié).計(jì)算圓面積?阿基米德、劉徽的方法對六年級學(xué)生而言都太難,并不適合于教學(xué);書本上的方法容易讓學(xué)生產(chǎn)生“圓面積公式為近似公式”的誤解,但拼法簡單易懂.經(jīng)過討論,筆者決定兼用書本上的方法和開普勒的方法.選擇開普勒的方法可以體現(xiàn)上述原則:開普勒求圓面積的故事滿足了教學(xué)的“趣味性”;開普勒求圓面積的方法與阿基米德、劉徽等數(shù)學(xué)家的方法一脈相承,符合人的認(rèn)知規(guī)律,滿足“科

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