全等三角形輔助線(xiàn)的作法.doc

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1、.全等三角形輔助線(xiàn)的作法知識(shí)精講一．中點(diǎn)類(lèi)輔助線(xiàn)作法見(jiàn)到中線(xiàn)(中點(diǎn))，我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無(wú)非是倍長(zhǎng)中線(xiàn)或者是與中點(diǎn)有關(guān)的一條線(xiàn)段，尤其是在涉及線(xiàn)段的等量關(guān)系時(shí)，倍長(zhǎng)中線(xiàn)的應(yīng)用更是較為常見(jiàn)，常見(jiàn)添加方法如下圖（是底邊的中線(xiàn))．二．角平分線(xiàn)類(lèi)輔助線(xiàn)作法有下列三種作輔助線(xiàn)的方式：1．由角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)；2．過(guò)角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，從而形成等腰三角形；3．，這種對(duì)稱(chēng)的圖形應(yīng)用得也較為普遍．三．截長(zhǎng)補(bǔ)短類(lèi)輔助線(xiàn)作法截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線(xiàn)的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想．所謂“截長(zhǎng)”，就是將三者中最長(zhǎng)的

2、那條線(xiàn)段一分為二，使其中的一條線(xiàn)段等于已知的兩條較短線(xiàn)段中的一條，然后證明其中的另一段與已知的另一條線(xiàn)段相等；所謂“補(bǔ)短”，就是將一個(gè)已知的較短的線(xiàn)段延長(zhǎng)至與另一個(gè)已知的較短的長(zhǎng)度相等，然后求出延長(zhǎng)后的線(xiàn)段與最長(zhǎng)的已知線(xiàn)段的關(guān)系．有的是采取截長(zhǎng)補(bǔ)短后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求解．三點(diǎn)剖析一．考點(diǎn)：全等三角形輔助線(xiàn)的作法..二．重難點(diǎn)：中點(diǎn)類(lèi)、角平分線(xiàn)類(lèi)、截長(zhǎng)補(bǔ)短類(lèi)輔助線(xiàn)作法三．易錯(cuò)點(diǎn)：1．輔助線(xiàn)只是一個(gè)指導(dǎo)方法，出現(xiàn)相關(guān)條件或結(jié)論時(shí)不一定要作輔助線(xiàn)或者是按照模型作輔助線(xiàn)，關(guān)鍵是如何分析題目；2．輔助線(xiàn)不是隨便都可以作的，比如“作一條線(xiàn)段等于

3、另外一條線(xiàn)段且與某條線(xiàn)段夾角是多少度”這種輔助線(xiàn)就不一定能作出來(lái)．題模精講題模一：中點(diǎn)類(lèi)例1.1.1已知：△ABC中，AD是BC邊上的中線(xiàn)，，，試求AD的取值范圍．【答案】【解析】該題考查了三角形三邊關(guān)系和三角形的全等．ABCDE延長(zhǎng)AD至E，使得，連結(jié)CE在△ABD和△ECD中1.∴△ABD≌△ECD（SAS）∴∴AE的取值范圍為例1.1.2如圖所示，在中，，延長(zhǎng)到，使，為的中點(diǎn)，連接、，求證：．..【答案】見(jiàn)解析【解析】解法一：如圖所示，延長(zhǎng)到，使，連接BF．容易證明，從而，而，故．注意到，，故，而公用，故，因此．解法二：如圖所示，取的中點(diǎn)，

4、連接．因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，故是的中位線(xiàn)，從而，由可得，故，從而，．..題模二：角平分線(xiàn)類(lèi)例1.2.1如圖，，平分，平分，點(diǎn)在上．①探討線(xiàn)段、和之間的等量關(guān)系．②探討線(xiàn)段與之間的位置關(guān)系．【答案】見(jiàn)解析【解析】①；②．證明如下：在線(xiàn)段上取點(diǎn)，使，連結(jié)．在和中∴∴，∵而∴在和中∴∴，∴，..例1.2.2如圖，已知，，BD為∠ABC的平分線(xiàn)，CE⊥BE，求證：．【答案】見(jiàn)解析【解析】延長(zhǎng)CE，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．∵BD為∠ABC的平分線(xiàn)，CE⊥BE，∴△BEF≌△BEC，∴，．∵，CE⊥BE，∴，又∵，∴△ABD≌△ACF，∴．∴．例1.2.3已

5、知，AC平分∠MAN，點(diǎn)B、D分別在AN、AM上．（1）如圖1，若，請(qǐng)你探索線(xiàn)段AD、AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明之；（2）如圖2，若，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．..【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）關(guān)系是：．證明：∵AC平分∠MAN，∴又，∴則（直角三角形一銳角為30°，則它所對(duì)直角邊為斜邊一半）∴；（2）仍成立．證明：過(guò)點(diǎn)C分別作AM、AN的垂線(xiàn)，垂足分別為E、F∵AC平分∠MAN∴（角平分線(xiàn)上點(diǎn)到角兩邊距離相等）∵，∴又，∴△CED≌△CFB（AAS）∵，∴由（1）知，∴．題模三：截長(zhǎng)補(bǔ)短類(lèi)例1.3

6、.1如圖所示，是邊長(zhǎng)為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的，點(diǎn)、分別在、上，求的周長(zhǎng)．..【答案】見(jiàn)解析【解析】如圖所示，延長(zhǎng)到使．在與中，因?yàn)椋?，，所以，故．因?yàn)椋?，所以．又因?yàn)?，所以．在與中，，，，所以，則，所以的周長(zhǎng)為．例1.3.2閱讀下列材料：如圖1，在四邊形ABCD中，已知∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°.求證：CD=AB.小剛是這樣思考的：由已知可得，∠CAB=30°，∠DAC=75°，∠DCA=60°，∠ACB+∠DAC=180°，由求證及特殊角度數(shù)可聯(lián)想到構(gòu)造特殊三角形.即過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AB交

7、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，則AB=AE，∠E=∠D.在△ADC與△CEA中，∵∴△ADC≌△CEA，得CD=AE=AB.請(qǐng)你參考小剛同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下面問(wèn)題：..如圖2，在四邊形ABCD中，若∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，請(qǐng)問(wèn)：CD與AB是否相等？若相等，請(qǐng)你給出證明；若不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】見(jiàn)解析【解析】該題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)．CD與AB相等．證明如下：作交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，∴∵∴，∵，，∴，∵在△DAC和△ECA中∴△DAC≌△ECA∴∴.隨堂練習(xí)隨練1.1如圖所示，已知中，平分，、分別在、上．，..．求證：

8、∥．【答案】見(jiàn)解析【解析】延長(zhǎng)到，使，連結(jié)，利用證明≌，∴，．又，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴∥．隨練1.2已知中，，、分別平分和，、