巧解分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).pdf

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1、第30卷第5期（上）赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）Vol.30No.52014年5月JournalofChifengUniversity（NaturalScienceEdition）May2014巧解分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)杜美華，孫衛(wèi)衛(wèi)，高發(fā)玲（青島理工大學(xué)琴島學(xué)院，山東青島266106）摘要：分段函數(shù)在分?jǐn)帱c(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，一般的方法是利用導(dǎo)數(shù)定義式來求左右導(dǎo)數(shù)，看是否相等來確定是否可導(dǎo)，但是這種方法繁瑣并且容易出錯(cuò)，學(xué)生擅長的方法是利用求導(dǎo)法則來求導(dǎo)數(shù)，本文利用中值定理，將分段函數(shù)在分?jǐn)帱c(diǎn)處左右導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)帱c(diǎn)處兩

2、側(cè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的極限，這種方法種簡單而又快捷，能夠解決部分分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性問題.關(guān)鍵詞：分段函數(shù)；分段點(diǎn)；導(dǎo)數(shù)中圖分類號(hào)：O13文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1673-260X（2014）05-0006-02在高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)中，分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可--證明（1）f(x0)=limg(x)，若limg(x)≠a，則f(x0)≠f(x0)，顯x→x-x→x-00導(dǎo)性是同學(xué)們學(xué)習(xí)的難點(diǎn).本文結(jié)合著同學(xué)們在學(xué)習(xí)中所出然f(x)在x0處不連續(xù)，從而f(x)在x0處不可導(dǎo).現(xiàn)的問題及導(dǎo)數(shù)的定義，針對(duì)一些分段函數(shù)總結(jié)出一種簡對(duì)于lim

3、h(x)≠a，同理可證.x→x+0單而又準(zhǔn)確的求導(dǎo)方法.（2）若limg(x)=limh(x)=a，即f(x-)=f(x+)=f(x)，則f(x)在x00000x→x-x→x+假設(shè)g(x)在x的左側(cè)鄰域(x,-啄,x)內(nèi)可導(dǎo)，h(x)在x的000000處連續(xù)，下面證明當(dāng)limg'(x)=limh;(x)=A時(shí)f(x0)在x0處可導(dǎo).!g(x)，x

4、＊），討0000#####h(x)，x>xf(x)-f(x0)$0定理的條件，有=f'(孜)，x-x0論在x=x0處的可導(dǎo)性時(shí)，同學(xué)們很少利用導(dǎo)數(shù)的定義求解由于x<孜

5、而可得法，經(jīng)過探討，有如下結(jié)論：f-'(x0)=limg'(孜)=limg'(x)=A孜→x-x→x-001定理結(jié)論同理可有定理如果分段函數(shù)（＊）滿足假設(shè)條件：g(x)在x0的左f+'(x0)=limh'(x)=Ax→x-側(cè)鄰域(x,-啄,x)內(nèi)可導(dǎo)，h(x)在x的右側(cè)鄰域(x,x,-啄)內(nèi)可000000即有f-'(x0)=f+'(x0)=A，從而f(x)在x0處可導(dǎo)，并且f'(x0)=A.導(dǎo)，則有2定理說明（1）若limg(x)≠a或者limh(x)≠a，則f(x)在x0處不可導(dǎo)；x→x-x→x+00（1）如果f(x)在x0

6、處連續(xù)，我們可分別補(bǔ)充g(x)與h(x)在（2）若limg(x)=limh(x)=a，并且limg'(x)=limh'(x)=A，（其x→x-x→x+x→x-x→x+0000x處的定義g(x)=a與h(x)=a，特別地，如果g'(x)與h'(x)在x0000中A為常數(shù)或者是∞），則f'(x0)存在且f'(x0)=A（或者為∞）.處連續(xù)，則有-6-f-'(x0)=limg'(x)=g-'(x0)當(dāng)x>1時(shí)，(ax+b)'=a，則f+'(1)=lima=ax→x-x→x+01f+'(x0)=limh'(x)=h+'(x0)因?yàn)閒(

7、x)在x=1處可導(dǎo)，則a=2②x→x+0故由①和②可知a=2，b=-1.!x，x<0####g'(x)或者limh'(x)不存在，不說明f(x)在x=x#（2）若lim0處例1討論分段函數(shù)f(x)="0，x=0在x=0處的可導(dǎo)x→x-x→x+#00####sinx+1，x>0可導(dǎo)，此時(shí)本定理的求解方法失效，失效原因和洛必達(dá)法則$性.失效的原因相同，這是因?yàn)槎ɡ碜C明中+)=lim(sinx+1)=1≠f(0)，從而f(x)在x=0處不連f(x)-f(x解f(00)x→x0+f-'(x0)=lim=limg'(孜)(0<孜

8、→x-x-x0x→x-00續(xù)，也就不可導(dǎo).這里limg'(孜)與limg'(x)存在這樣的關(guān)系，limg'(x)存在則x→x-x→x-x→x-000注：有的同學(xué)就會(huì)這樣解：x'=1，(sinx+1)'=cosx，兩個(gè)導(dǎo)函limg'(孜)必存在，但是limg'(孜)存在未必li