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《分段函數(shù)在分段點(diǎn)可導(dǎo)性的判別法》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、分段函數(shù)在分段點(diǎn)可導(dǎo)性的判別法 【摘要】本文主要介紹了對滿足一定條件的分段函數(shù)，先求出函數(shù)在分段點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)，再通過導(dǎo)函數(shù)在分段點(diǎn)的左、右極限來判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性的方法，并通過具體的實(shí)例說明了此方法的簡單性. 【關(guān)鍵詞】分段函數(shù);連續(xù);可導(dǎo)性 在微分學(xué)中，分段函數(shù)是一類非初等函數(shù)，它在定義域的不同段上有不同的對應(yīng)法則的函數(shù)，在一元函數(shù)微分學(xué)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往會在分段函數(shù)在分界點(diǎn)處可導(dǎo)性討論時(shí)出錯(cuò)，尤其是在分段函數(shù)在分界點(diǎn)處不可導(dǎo)，但在分界點(diǎn)處左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)存在性的討論問題中更容易出錯(cuò).通過多年的教學(xué)，總結(jié)以下的簡單判別法，
2、這種方法可以簡化計(jì)算過程，學(xué)生比較容易接受. 一、判別方法 1.若f（x）在x0不連續(xù)，則f（x）在x0不可導(dǎo).（連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件）但在這種情況下經(jīng)常會討論f′-（x0），f′+（x0）的存在性，常常出現(xiàn)下面的情況： 若f（x）在x0不連續(xù)，且f′（x）=h（x）x<x0 g（x）x>x0，則 ?。?）當(dāng)f（x0-0）=f（x0），且limx→xx-0h（x）存在，則f′4-（x0）存在，f′+（x0）不存在; ?。?）當(dāng)f（x0+0）=f（x0），且limx→x0+g（x）存在，則f′+（x0）存在，f′-（x0）不存在;
3、（3）當(dāng)f（x）在既非左連續(xù)又非右連續(xù)，則f′+（x0）與f′-（x0）都不存在. 2.若f（x）在x0連續(xù)，且f′（x）=h（x）x<x0 g（x）x>x0， ?。?）當(dāng)limx→x-0h（x），limx→x0+g（x）都存在， a.limx→xx-0h（x）=limx→x0+g（x），則f（x）在x0可導(dǎo)，且f′（x）=limx→xx-0h（x）. b.limx→xx-0h（x）≠limx→x0+g（x），則f（x）在x0不可導(dǎo) ?。?）當(dāng)limx→xx-0h（x），limx→x0+g（x）中至少有一個(gè)不存在，用導(dǎo)數(shù)定義來判斷.
4、 二、應(yīng)用舉例 例1設(shè)f（x）=12x2x≤1 xx>1，則f（x）在點(diǎn)x=1處（）. A.左，右導(dǎo)數(shù)都存在 B.左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)不存在 C.左導(dǎo)數(shù)不存在，右導(dǎo)數(shù)存在 D.左，右導(dǎo)數(shù)都不存在 解顯然f（x）在x=1處左連續(xù)，且limx→1-f′（x）=12，故f′-（1）=0，而f′+（1）不存在，應(yīng)選B.4 例2設(shè)f（x）=1+x2x<1 2xx≥1，求f′（1）. 解顯然函數(shù)f（x）在x=1處連續(xù)，f′（1-0）=limx→0-f′（x）=limx→0-2x=2，f′（1+0）=limx→0+f′（x）=2x=2
5、=f′（1-0），則f（x）在x0可導(dǎo)，且f′（1）=2. 例3設(shè)f（x）=1+x2x<1 3x-1x≥1，求f′（1）. 解顯然函數(shù)f（x）在x=1處連續(xù)， f′（1-0）=limx→0-f′（x）=limx→0-2x=2， f′（1+0）=limx→0+f′（x）=3≠f′（1-0），則f′（1）不存在，即f（x）在x0不可導(dǎo). 例4設(shè)f（x）=sin2xx≤0 x+x2cos1xx>0，求f′（0）. 解顯然函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù)，且limx→0-f′（x）=limx→0-2cos2x=1，limx→0+f′（x）
6、=limx→0+（1+2xcos1x+sin1x），故limx→0+f′（x）不存在， 則f′（0+0）=limx→0+x+x2cos1xx=1， 又f′（0-0）=limx→0-f′（x）=1=f′（0+0）， 則f′（0）存在，且f′（0）=1. 注：應(yīng)用以上方法討論分段函數(shù)的可導(dǎo)性時(shí)，一定要判別函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性，否則容易出錯(cuò). 4 【參考文獻(xiàn)】 ?。?）趙華文.可導(dǎo)性判定的新定理.濟(jì)源職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)，2014，13（3）. ?。?）許燕，張永明.判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)處可導(dǎo)性的簡便方法，2012，20（6）.4
