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《分段函數(shù)_函數(shù)的可積性與原函數(shù)存在性》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第25卷第2期大學(xué)數(shù)學(xué)Vol.25,№.22009年4月COLLEGEMATHEMATICSApr.2009分段函數(shù)、函數(shù)的可積性與原函數(shù)存在性馬保國,王延軍(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西延安716000)[摘要]論述了分段函數(shù)在數(shù)學(xué)分析中的作用,并以分段函數(shù)為工具,給出了函數(shù)的原函數(shù)存在和黎曼可積之間的關(guān)系,有助于全面掌握原函數(shù)和定積分這兩個(gè)重要概念.[關(guān)鍵詞]分段函數(shù);可積性;原函數(shù);間斷點(diǎn)[中圖分類號]O174[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]C[文章編號]167221454(2009)0220200204在一元函數(shù)積分學(xué)中,原函數(shù)(不定積分)和定積分概念,雖然它們建立的背景有很
2、大的不同,但是,當(dāng)我們建立了微積分基本定理之后,就把二者聯(lián)系起來了.于是,許多初學(xué)者就產(chǎn)生錯(cuò)覺,認(rèn)為函數(shù)的原函數(shù)存在,則函數(shù)就黎曼可積(簡稱可積);或者函數(shù)可積,則其原函數(shù)就一定存在.在現(xiàn)行的數(shù)學(xué)分析教材中,盡管也指出原函數(shù)存在和函數(shù)可積沒有必然的聯(lián)系,但由于教材篇幅和講授學(xué)時(shí)的限制,對原函數(shù)存在性和可積性間的關(guān)系,沒有作一般性的討論.本文以數(shù)學(xué)分析教材內(nèi)容為基礎(chǔ),利用分段函數(shù)對函數(shù)的原函數(shù)存在性和可積性作一些補(bǔ)充討論,以幫助初學(xué)者弄清原函數(shù)存在性和可積性這兩個(gè)重要概念之間的相互關(guān)系.1分段函數(shù)眾所周知,在數(shù)學(xué)分析中重點(diǎn)討論的是有廣泛應(yīng)用的初等函數(shù).對于非初等函數(shù)的討論常
3、出現(xiàn)在一些重要概念和理論問題的進(jìn)一步剖析和討論中,它的主要應(yīng)用之一就是構(gòu)造滿足某些要求的反例,由此對概念或定理進(jìn)行辨析與闡述,分段函數(shù)就是這樣一類重要的函數(shù).如,狄利克萊函數(shù)、黎曼函數(shù)、符號函數(shù)等就是這方面應(yīng)用的典范.所謂分段函數(shù),是指在函數(shù)定義域的不同部分不是用一個(gè)解析式表示,而是用幾個(gè)不同的解析式來表達(dá)的函數(shù),有時(shí)可能要用無窮多個(gè)解析式.分段函數(shù)一般定義為:設(shè)I是一個(gè)區(qū)間,f在I上有意義且滿足n(i)I=∪Ii,Ii∩Ij=á(i≠j);(ii)f(x)=fi(x),x∈Ii,i=1,2,?,n,i=1則稱f為I上的分段函數(shù).由于數(shù)學(xué)分析中遇的分段函數(shù),每個(gè)fi都是I
4、i上的初等函數(shù),所以和初等函數(shù)一樣我們可以去討論它們的極限、連續(xù)、可微和可積等分析性質(zhì).由于這類函數(shù)在函數(shù)定義域的不同部分用不同的解析式來表示的,所以它們經(jīng)常具有某些獨(dú)特的性態(tài),這也正是我們所關(guān)注的.特別在函數(shù)解析表達(dá)式的分界點(diǎn)處,是出現(xiàn)這類獨(dú)特性態(tài)的敏感點(diǎn),因而是討論的重點(diǎn).通過對分界點(diǎn)的討論可以論證函數(shù)的一些典型的或重要的性質(zhì).例如,為了強(qiáng)調(diào)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)性是函數(shù)的局部性質(zhì),在數(shù)學(xué)分析中給出了黎曼函數(shù),并證明它在有理點(diǎn)處都不連續(xù),在無理點(diǎn)處都連續(xù).從而使學(xué)生對函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的局部特征有更強(qiáng)烈的印象.[收稿日期]2006211202[基金項(xiàng)目]陜西省第三輪高等教育教學(xué)改
5、革項(xiàng)目(2005295);陜西省精品課程項(xiàng)目(2006256)第2期馬保國,等:分段函數(shù)、函數(shù)的可積性與原函數(shù)存在性201概括地說,利用分段函數(shù)可以強(qiáng)化數(shù)學(xué)分析中的一些基本概念;利用分段函數(shù)可以辨析函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、可積性等之間的關(guān)系;利用分段函數(shù)可以構(gòu)造具有某些特殊性質(zhì)的函數(shù);利用分段函數(shù)可以解答數(shù)學(xué)分析中的一些疑難問題.總之,分段函數(shù)是一類具有特殊性質(zhì)的重要函數(shù),在數(shù)學(xué)分析(乃至整個(gè)高等數(shù)學(xué))中有重要應(yīng)用和[3,6]地位.在教學(xué)中,如果我們能充分的應(yīng)用分段函數(shù)的特點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生掌握基本概念和理論正面和反面的意義,進(jìn)而準(zhǔn)確理解和掌握這些基本概念和理論,這對于提高數(shù)學(xué)分
6、析教學(xué)效果是十分重要的.2函數(shù)的可積性與原函數(shù)存在性2.1函數(shù)的可積性與原函數(shù)存在性的基本結(jié)論[1]在數(shù)學(xué)分析教材中,對區(qū)間[a,b]上的函數(shù)f的可積性一般給出如下基本結(jié)果(定理1),通常稱為積分的充分條件(可積函數(shù)類).定理1(i)若函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f在區(qū)間[a,b]上可積;(ii)若有界函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上僅有有限個(gè)間斷點(diǎn),則f在[a,b]上可積;(iii)若函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上單調(diào),則f在[a,b]上可積.根據(jù)定義,所謂f在某區(qū)間上原函數(shù)存在,是指在該區(qū)間上能找到一個(gè)函數(shù)F,使得在該區(qū)間上等式F′(x)=f(x)成立.對原函數(shù)的存在性,我們有
7、定理2若函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f在區(qū)間[a,b]上原函數(shù)存在.以上兩個(gè)定理在數(shù)學(xué)分析教材中均有證明,這里不再贅述.進(jìn)一步,對函數(shù)原函數(shù)的存在性,我們有下列事實(shí):定理3(i)若函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上含有第一類間斷點(diǎn),則f在[a,b]上不存在原函數(shù);(ii)若函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上有無窮型間斷點(diǎn),則f在[a,b]上不存在原函數(shù);(iii)若函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上存在原函數(shù),則f在[a,b]上的間斷點(diǎn)是第二類的.證(i)設(shè)x0∈[a,b]是f的第一類間斷點(diǎn),且f在區(qū)間[a,b]上存在原函數(shù)F,則F′(x)=f(x),
