極限函數(shù)與數(shù)的連續(xù)性 可積性與可微性.doc

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1、極限函數(shù)與函數(shù)的連續(xù)性可積性與可微性主要討論連極限函數(shù)與函數(shù)的連續(xù)性可積性與可微性。定理13.2.1設(shè)函數(shù)列在上一致收斂于，且對，，則、均存在，且相等，即。（即在一致收斂的條件下兩種極限可換序）定理13.9（連續(xù)性）若函數(shù)列在區(qū)間I上一致收斂于，且對，在I上連續(xù)，則在I上也連續(xù)。說明：若各項為連續(xù)函數(shù)的函數(shù)列在區(qū)間I上其極限函數(shù)不連續(xù)，則此函數(shù)列在區(qū)間I上不一致收斂。如：在上。定理13.10（可積性）若函數(shù)列在上一致收斂，且每一項都連續(xù)，則。注1：該定理指出：在一致收斂的條件下，極限運算與積分運算可以交換順序；注2：一致收斂只是這兩種運算換序的充分條件，而并非必要條件。如下面的

2、：例1、討論下列函數(shù)的連續(xù)性與可積性函數(shù)，。解：（略）定理13.11（可微性）設(shè)為定義在上的函數(shù)列，若為的收斂點，的每一項在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且在上一致收斂，則。注1：在該定理的條件下可以證明在區(qū)間上一致收斂；注2：該定理指出：在一致收斂的條件下，求導(dǎo)運算與極限運算可以交換順序；注3：一致收斂只是這兩種運算換序的充分條件，而并非必要條件。如：例2、設(shè)函數(shù)列，。下面討論函數(shù)項級數(shù)的連續(xù)性，逐項求積與逐項求導(dǎo)的性質(zhì)，它們都可由函數(shù)列的相應(yīng)性質(zhì)推出。定理13-12（連續(xù)性）若函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上一致收斂，且每一項都連續(xù)，則其和函數(shù)也在區(qū)間上連續(xù)。注：在一致收斂的條件下，求和運算與求極限運

3、算可以交換順序，即。定理13-13（逐項求積）若函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上一致收斂，且每一項都連續(xù)，則。注：即在一致收斂的條件下，求（無限項）和運算與積分運算可以交換順序。定理13-14（逐項求導(dǎo)）若函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上每一項都有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，為函數(shù)項級數(shù)的收斂點，且在區(qū)間上一致收斂，則。注：即在一致收斂的條件下，求（無限項）和運算與求導(dǎo)運算可以交換順序。