原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系

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1、課題：探究原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系首師大附中數(shù)學(xué)組王建華設(shè)計思路這節(jié)課是在學(xué)完導(dǎo)數(shù)和積分之后，學(xué)生從大量的實例中對原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系有了一定的認(rèn)識的基礎(chǔ)上展開教學(xué)的。由于這部分內(nèi)容課本上沒有，但數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系規(guī)律和對稱美又會使學(xué)生既覺得有挑戰(zhàn)性又充滿探究的興趣。備這個課的過程中我雖然參考了大量已有的資料，但需要做更深入地思考這些命題間的聯(lián)系，以什么方式展開更利于學(xué)生拾級而上，最終登上高峰體會一覽眾山小的樂趣和成就感。教師實際上是在引導(dǎo)學(xué)生進行一次理論的探險，大膽地猜，小心地證，謹(jǐn)慎地修改條件，步步逼近

2、真理。最終學(xué)生能否記住這些結(jié)論并不重要，重要的是研究相互關(guān)聯(lián)的事物的一般思路和方法。對優(yōu)秀生或熱愛數(shù)學(xué)的學(xué)生來說會有更多的收獲。整個教學(xué)流程1.從經(jīng)驗觀察發(fā)現(xiàn)，猜想得命題p,q.這兩個命題為真命題，證明它們的方法用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，比較容易上手。2.學(xué)生自然會想到這個命題的逆命題是否成立，嘗試證明。證明的思路也要逆向思考。發(fā)現(xiàn)由于導(dǎo)數(shù)確定后原函數(shù)不能唯一確定，有上下平移的可能，這樣關(guān)于y軸對稱的性質(zhì)能夠保持，但關(guān)于原點對稱的性質(zhì)就不能保證了。3.函數(shù)的平移不改變函數(shù)圖象的對稱性，因此將奇函數(shù)的性質(zhì)拓展為

3、關(guān)于中心對稱，將偶函數(shù)的性質(zhì)拓展為關(guān)于直線對稱，研究前面的四個命題還是否成立。研究方法可以類比遷移前面的方法。能成立的嚴(yán)格證明，不能成立的舉出反例，并嘗試通過改變條件使之成為真命題。4.已有成果的應(yīng)用：利用二次函數(shù)的對稱性性質(zhì)研究三次函數(shù)的對稱性。教學(xué)目標(biāo)在這個探究過程中1.加強學(xué)生對導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)相生相伴的關(guān)系的理解；2.增強學(xué)生對函數(shù)對稱性的理解和抽象概括表達(dá)能力；3體驗研究事物的角度，一個新定理是怎樣誕生的，怎樣才是全面地認(rèn)識了一個事物。4.培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力，分析法解決問題的能力，舉反例的能

4、力等等。教學(xué)重點以原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對稱性的聯(lián)系為載體讓學(xué)生體驗觀察發(fā)現(xiàn)、概括猜想、辨別真?zhèn)蔚倪^程。教學(xué)難點靈活運用所學(xué)知識探索未知領(lǐng)域。新課引入前面解題時我們常根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號示意圖畫出原函數(shù)的單調(diào)性示意圖，你能根據(jù)原函數(shù)的圖像畫出導(dǎo)函數(shù)的示意圖嗎？一．探究由原函數(shù)的奇偶性能否推出導(dǎo)函數(shù)的奇偶性。問題1已知函數(shù)的圖像，請嘗試畫出其導(dǎo)函數(shù)的圖像示意圖。yxoxyoyxooxyxyo導(dǎo)函數(shù)的實質(zhì)是原函數(shù)的瞬時變化率，導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)反應(yīng)了原函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)的大小反應(yīng)了原函數(shù)增減的快慢。從圖像的整體性質(zhì)上

5、看，你還有什么發(fā)現(xiàn)？猜想p:可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，猜想q:可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。問題2你能根據(jù)圖象上解釋一下你的猜想嗎？奇函數(shù)關(guān)于原點中心對稱，它的曲線在原點兩側(cè)等距離處升降速度相同，即切線斜率相等；偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱，它的曲線在y軸兩側(cè)等距離處升降速度絕對值相等，即切線斜率互為相反數(shù)。問題3嘗試證明你的猜想P:已知是可導(dǎo)的奇函數(shù)，求證時偶函數(shù)分析1：欲證時偶函數(shù)，只需證若將理解將中的替換為得到的函數(shù)，可以用導(dǎo)數(shù)定義證明。證明：當(dāng)是奇函數(shù)時,對定義域中的任意都有所以時偶函數(shù)分析2.用

6、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)證明：當(dāng)是奇函數(shù)時，對定義域中的任意都有兩邊對求導(dǎo)得，即得，所以時偶函數(shù)命題q同理可證.思考：看來已知原函數(shù)的奇偶性，我們可以確定導(dǎo)函數(shù)的奇偶性，那么已知導(dǎo)函數(shù)的奇偶性能否推知原函數(shù)的奇偶性呢？命題p和q的逆命題是否成立呢？二．探究由導(dǎo)函數(shù)的奇偶性能否推出原函數(shù)的奇偶性。問題4p和q的逆命題是否成立？p的逆命題：若是偶函數(shù)，則奇函數(shù)此命題不正確，可舉出反例：如是奇函數(shù)，而原函數(shù)當(dāng)c不為0時，原函數(shù)不是偶函數(shù)。這是什么原因造成的呢？因為原函數(shù)定了，導(dǎo)函數(shù)是唯一確定的，而同一個導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)

7、有無窮多個。一個函數(shù)向上或向下平移后導(dǎo)函數(shù)是不變的，直觀理解是切線的斜率不變。而函數(shù)上下平移就不能保證圖象關(guān)于原點中心對稱了。q的逆命題：若是奇函數(shù)，則偶函數(shù)證明：是奇函數(shù)時能否推出？只能推出，思考是確定的值嗎？能求嗎？問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)是0，原函數(shù)是什么？可以舉出分段的常數(shù)函數(shù)，為使此命題成立，我們加強一下條件，將命題改為“對于在R上連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)，若是奇函數(shù)，則偶函數(shù)”。此時在處有定義，則，此時可得，原函數(shù)是偶函數(shù)。三．探究由原函數(shù)的對稱性能否推出導(dǎo)函數(shù)的對稱性對于連續(xù)的可導(dǎo)函數(shù)，原函數(shù)的奇偶性可

8、以推出導(dǎo)函數(shù)的奇偶性，而逆命題中當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)時，原函數(shù)是偶函數(shù)，但當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)時，原函數(shù)不一定是奇函數(shù)，那么此時原函數(shù)雖然不是奇函數(shù)了，它是不是也有什么性質(zhì)呢？它的圖像應(yīng)該是中心對稱的。能否將剛才的結(jié)論推廣一下？問題5奇函數(shù)圖象特征是關(guān)于原點中心對稱，偶函數(shù)圖象特征是關(guān)于軸對稱，能否將上述命題推廣一下？P的推廣命題：若可導(dǎo)函數(shù)關(guān)于對稱，則它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于直線對稱。證明：關(guān)于對稱，則，即，所以其導(dǎo)函數(shù)關(guān)于直線對稱。q的推廣命題：若可導(dǎo)函數(shù)關(guān)于對稱，則它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于