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《原函數(shù)和導函數(shù)的關系》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關內容在應用文檔-天天文庫。
1、WORD文檔下載可編輯課題:探究原函數(shù)與導函數(shù)的關系首師大附中數(shù)學組王建華設計思路這節(jié)課是在學完導數(shù)和積分之后,學生從大量的實例中對原函數(shù)和導函數(shù)的關系有了一定的認識的基礎上展開教學的。由于這部分內容課本上沒有,但數(shù)學內部的聯(lián)系規(guī)律和對稱美又會使學生既覺得有挑戰(zhàn)性又充滿探究的興趣。備這個課的過程中我雖然參考了大量已有的資料,但需要做更深入地思考這些命題間的聯(lián)系,以什么方式展開更利于學生拾級而上,最終登上高峰體會一覽眾山小的樂趣和成就感。教師實際上是在引導學生進行一次理論的探險,大膽地猜,小心地證,謹慎地修改條件,步步逼近真理。最終學生能否記住這些結
2、論并不重要,重要的是研究相互關聯(lián)的事物的一般思路和方法。對優(yōu)秀生或熱愛數(shù)學的學生來說會有更多的收獲。整個教學流程1.從經(jīng)驗觀察發(fā)現(xiàn),猜想得命題p,q.這兩個命題為真命題,證明它們的方法用復合函數(shù)求導,比較容易上手。2.學生自然會想到這個命題的逆命題是否成立,嘗試證明。證明的思路也要逆向思考。發(fā)現(xiàn)由于導數(shù)確定后原函數(shù)不能唯一確定,有上下平移的可能,這樣關于y軸對稱的性質能夠保持,但關于原點對稱的性質就不能保證了。3.函數(shù)的平移不改變函數(shù)圖象的對稱性,因此將奇函數(shù)的性質拓展為關于中心對稱,將偶函數(shù)的性質拓展為關于直線對稱,研究前面的四個命題還是否成立。
3、研究方法可以類比遷移前面的方法。能成立的嚴格證明,不能成立的舉出反例,并嘗試通過改變條件使之成為真命題。4.已有成果的應用:利用二次函數(shù)的對稱性性質研究三次函數(shù)的對稱性。教學目標在這個探究過程中1.加強學生對導函數(shù)與原函數(shù)相生相伴的關系的理解;2.增強學生對函數(shù)對稱性的理解和抽象概括表達能力;3體驗研究事物的角度,一個新定理是怎樣誕生的,怎樣才是全面地認識了一個事物。4.培養(yǎng)學生的思辨能力,分析法解決問題的能力,舉反例的能力等等。教學重點以原函數(shù)與導函數(shù)的對稱性的聯(lián)系為載體讓學生體驗觀察發(fā)現(xiàn)、概括猜想、辨別真?zhèn)蔚倪^程。教學難點靈活運用所學知識探索未
4、知領域。新課引入前面解題時我們常根據(jù)導函數(shù)的符號示意圖畫出原函數(shù)的單調性示意圖,你能根據(jù)原函數(shù)的圖像畫出導函數(shù)的示意圖嗎?一.探究由原函數(shù)的奇偶性能否推出導函數(shù)的奇偶性。專業(yè)資料分享WORD文檔下載可編輯問題1已知函數(shù)的圖像,請嘗試畫出其導函數(shù)的圖像示意圖。yxoxyoyxooxyxyo導函數(shù)的實質是原函數(shù)的瞬時變化率,導函數(shù)的正負反應了原函數(shù)的單調性,導函數(shù)的大小反應了原函數(shù)增減的快慢。從圖像的整體性質上看,你還有什么發(fā)現(xiàn)?猜想p:可導的奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù),猜想q:可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)。問題2你能根據(jù)圖象上解釋一下你的猜想嗎?奇函數(shù)關
5、于原點中心對稱,它的曲線在原點兩側等距離處升降速度相同,即切線斜率相等;偶函數(shù)關于y軸對稱,它的曲線在y軸兩側等距離處升降速度絕對值相等,即切線斜率互為相反數(shù)。問題3嘗試證明你的猜想P:已知是可導的奇函數(shù),求證時偶函數(shù)分析1:欲證時偶函數(shù),只需證若將理解將中的替換為得到的函數(shù),可以用導數(shù)定義證明。專業(yè)資料分享WORD文檔下載可編輯證明:當是奇函數(shù)時,對定義域中的任意都有所以時偶函數(shù)分析2.用復合函數(shù)求導證明:當是奇函數(shù)時,對定義域中的任意都有兩邊對求導得,即得,所以時偶函數(shù)命題q同理可證.思考:看來已知原函數(shù)的奇偶性,我們可以確定導函數(shù)的奇偶性,那
6、么已知導函數(shù)的奇偶性能否推知原函數(shù)的奇偶性呢?命題p和q的逆命題是否成立呢?二.探究由導函數(shù)的奇偶性能否推出原函數(shù)的奇偶性。問題4p和q的逆命題是否成立?p的逆命題:若是偶函數(shù),則奇函數(shù)此命題不正確,可舉出反例:如是奇函數(shù),而原函數(shù)當c不為0時,原函數(shù)不是偶函數(shù)。這是什么原因造成的呢?因為原函數(shù)定了,導函數(shù)是唯一確定的,而同一個導函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個。一個函數(shù)向上或向下平移后導函數(shù)是不變的,直觀理解是切線的斜率不變。而函數(shù)上下平移就不能保證圖象關于原點中心對稱了。q的逆命題:若是奇函數(shù),則偶函數(shù)證明:是奇函數(shù)時能否推出?只能推出,思考是確定的值嗎
7、?能求嗎?問題轉化為導函數(shù)是0,原函數(shù)是什么?可以舉出分段的常數(shù)函數(shù)專業(yè)資料分享WORD文檔下載可編輯,為使此命題成立,我們加強一下條件,將命題改為“對于在R上連續(xù)可導的函數(shù),若是奇函數(shù),則偶函數(shù)”。此時在處有定義,則,此時可得,原函數(shù)是偶函數(shù)。三.探究由原函數(shù)的對稱性能否推出導函數(shù)的對稱性對于連續(xù)的可導函數(shù),原函數(shù)的奇偶性可以推出導函數(shù)的奇偶性,而逆命題中當導函數(shù)為奇函數(shù)時,原函數(shù)是偶函數(shù),但當導函數(shù)為偶函數(shù)時,原函數(shù)不一定是奇函數(shù),那么此時原函數(shù)雖然不是奇函數(shù)了,它是不是也有什么性質呢?它的圖像應該是中心對稱的。能否將剛才的結論推廣一下?問題5
8、奇函數(shù)圖象特征是關于原點中心對稱,偶函數(shù)圖象特征是關于軸對稱,能否將上述命題推廣一下?P的推廣命題:若可導函數(shù)關于對稱,則