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《原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、WORD文檔下載可編輯課題:探究原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系首師大附中數(shù)學(xué)組王建華設(shè)計(jì)思路這節(jié)課是在學(xué)完導(dǎo)數(shù)和積分之后,學(xué)生從大量的實(shí)例中對(duì)原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系有了一定的認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上展開教學(xué)的。由于這部分內(nèi)容課本上沒有,但數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系規(guī)律和對(duì)稱美又會(huì)使學(xué)生既覺得有挑戰(zhàn)性又充滿探究的興趣。備這個(gè)課的過程中我雖然參考了大量已有的資料,但需要做更深入地思考這些命題間的聯(lián)系,以什么方式展開更利于學(xué)生拾級(jí)而上,最終登上高峰體會(huì)一覽眾山小的樂趣和成就感。教師實(shí)際上是在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一次理論的探險(xiǎn),大膽地猜,小心地證,謹(jǐn)慎地修改條件,步步逼近真
2、理。最終學(xué)生能否記住這些結(jié)論并不重要,重要的是研究相互關(guān)聯(lián)的事物的一般思路和方法。對(duì)優(yōu)秀生或熱愛數(shù)學(xué)的學(xué)生來說會(huì)有更多的收獲。整個(gè)教學(xué)流程1.從經(jīng)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn),猜想得命題p,q.這兩個(gè)命題為真命題,證明它們的方法用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),比較容易上手。2.學(xué)生自然會(huì)想到這個(gè)命題的逆命題是否成立,嘗試證明。證明的思路也要逆向思考。發(fā)現(xiàn)由于導(dǎo)數(shù)確定后原函數(shù)不能唯一確定,有上下平移的可能,這樣關(guān)于y軸對(duì)稱的性質(zhì)能夠保持,但關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)就不能保證了。3.函數(shù)的平移不改變函數(shù)圖象的對(duì)稱性,因此將奇函數(shù)的性質(zhì)拓展為關(guān)于中心對(duì)稱,將偶函數(shù)的性
3、質(zhì)拓展為關(guān)于直線對(duì)稱,研究前面的四個(gè)命題還是否成立。研究方法可以類比遷移前面的方法。能成立的嚴(yán)格證明,不能成立的舉出反例,并嘗試通過改變條件使之成為真命題。4.已有成果的應(yīng)用:利用二次函數(shù)的對(duì)稱性性質(zhì)研究三次函數(shù)的對(duì)稱性。教學(xué)目標(biāo)在這個(gè)探究過程中1.加強(qiáng)學(xué)生對(duì)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)相生相伴的關(guān)系的理解;2.增強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)對(duì)稱性的理解和抽象概括表達(dá)能力;3體驗(yàn)研究事物的角度,一個(gè)新定理是怎樣誕生的,怎樣才是全面地認(rèn)識(shí)了一個(gè)事物。4.培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力,分析法解決問題的能力,舉反例的能力等等。教學(xué)重點(diǎn)以原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱性的聯(lián)系為載
4、體讓學(xué)生體驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)、概括猜想、辨別真?zhèn)蔚倪^程。教學(xué)難點(diǎn)靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)探索未知領(lǐng)域。新課引入前面解題時(shí)我們常根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)示意圖畫出原函數(shù)的單調(diào)性示意圖,你能根據(jù)原函數(shù)的圖像畫出導(dǎo)函數(shù)的示意圖嗎?一.探究由原函數(shù)的奇偶性能否推出導(dǎo)函數(shù)的奇偶性。專業(yè)技術(shù)資料分享WORD文檔下載可編輯問題1已知函數(shù)的圖像,請嘗試畫出其導(dǎo)函數(shù)的圖像示意圖。yxoxyoyxooxyxyo導(dǎo)函數(shù)的實(shí)質(zhì)是原函數(shù)的瞬時(shí)變化率,導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)反應(yīng)了原函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)函數(shù)的大小反應(yīng)了原函數(shù)增減的快慢。從圖像的整體性質(zhì)上看,你還有什么發(fā)現(xiàn)?猜想p:可導(dǎo)的奇
5、函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù),猜想q:可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。問題2你能根據(jù)圖象上解釋一下你的猜想嗎?奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,它的曲線在原點(diǎn)兩側(cè)等距離處升降速度相同,即切線斜率相等;偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱,它的曲線在y軸兩側(cè)等距離處升降速度絕對(duì)值相等,即切線斜率互為相反數(shù)。問題3嘗試證明你的猜想P:已知是可導(dǎo)的奇函數(shù),求證時(shí)偶函數(shù)分析1:欲證時(shí)偶函數(shù),只需證若將理解將中的替換為得到的函數(shù),可以用導(dǎo)數(shù)定義證明。專業(yè)技術(shù)資料分享WORD文檔下載可編輯證明:當(dāng)是奇函數(shù)時(shí),對(duì)定義域中的任意都有所以時(shí)偶函數(shù)分析2.用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)證明:當(dāng)是
6、奇函數(shù)時(shí),對(duì)定義域中的任意都有兩邊對(duì)求導(dǎo)得,即得,所以時(shí)偶函數(shù)命題q同理可證.思考:看來已知原函數(shù)的奇偶性,我們可以確定導(dǎo)函數(shù)的奇偶性,那么已知導(dǎo)函數(shù)的奇偶性能否推知原函數(shù)的奇偶性呢?命題p和q的逆命題是否成立呢?二.探究由導(dǎo)函數(shù)的奇偶性能否推出原函數(shù)的奇偶性。問題4p和q的逆命題是否成立?p的逆命題:若是偶函數(shù),則奇函數(shù)此命題不正確,可舉出反例:如是奇函數(shù),而原函數(shù)當(dāng)c不為0時(shí),原函數(shù)不是偶函數(shù)。這是什么原因造成的呢?因?yàn)樵瘮?shù)定了,導(dǎo)函數(shù)是唯一確定的,而同一個(gè)導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個(gè)。一個(gè)函數(shù)向上或向下平移后導(dǎo)函數(shù)是不
7、變的,直觀理解是切線的斜率不變。而函數(shù)上下平移就不能保證圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱了。q的逆命題:若是奇函數(shù),則偶函數(shù)證明:是奇函數(shù)時(shí)能否推出?只能推出,思考是確定的值嗎?能求嗎?問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)是0,原函數(shù)是什么?可以舉出分段的常數(shù)函數(shù)專業(yè)技術(shù)資料分享WORD文檔下載可編輯,為使此命題成立,我們加強(qiáng)一下條件,將命題改為“對(duì)于在R上連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù),若是奇函數(shù),則偶函數(shù)”。此時(shí)在處有定義,則,此時(shí)可得,原函數(shù)是偶函數(shù)。三.探究由原函數(shù)的對(duì)稱性能否推出導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱性對(duì)于連續(xù)的可導(dǎo)函數(shù),原函數(shù)的奇偶性可以推出導(dǎo)函數(shù)的奇偶性,而逆命題中
8、當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)時(shí),原函數(shù)是偶函數(shù),但當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí),原函數(shù)不一定是奇函數(shù),那么此時(shí)原函數(shù)雖然不是奇函數(shù)了,它是不是也有什么性質(zhì)呢?它的圖像應(yīng)該是中心對(duì)稱的。能否將剛才的結(jié)論推廣一下?問題5奇函數(shù)圖象特征是關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,偶函數(shù)圖象特征是關(guān)于軸對(duì)稱,能否將上述命題推廣一下?P的推廣命題:若可導(dǎo)函數(shù)