關(guān)于分段函數(shù)的原函數(shù)

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1、2007年2月襄樊學(xué)院學(xué)報(bào)Feb.,2007第28卷第2期JournalofXiangfanUniversityVol.28No.2關(guān)于分段函數(shù)的原函數(shù)樊孝菊（襄樊學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖北襄樊441053）摘要：文章主要討論了連續(xù)分段函數(shù)、具有第一類間斷點(diǎn)的分段函數(shù)、具有第二類間斷點(diǎn)的分段函數(shù)三種情形的原函數(shù)問題.關(guān)鍵詞：分段函數(shù)；間斷點(diǎn)；原函數(shù)中圖分類號(hào)：O172.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1009-2854(2007)02-0018-02?f(),xaxc≤≤;1分段函數(shù)f()x=?（1）?f(),xcxb<≤.2文章以式（1）為例，討論f()x在區(qū)間[a

2、b,]上的原函數(shù)問題.1分段函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)的情形下的原函數(shù)問題[1]引理1設(shè)f(x)在區(qū)間[]a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，若極限limf′(x)=f′(a+0)存在，則f(x)x→a+0在a點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)f′()a存在，且fafa′′()=+(0).++對(duì)于左導(dǎo)數(shù)也有類似的結(jié)論.引理2設(shè)F(x)在區(qū)間(,]ab上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且F′(a+0)存在，則F(a+0)存在.?F′(),xaxb<≤;證明：定義g(x)=?則g(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，于是g(x)的原函數(shù)一定存在.?F′(0ax+=),.a**設(shè)它的原函數(shù)為F(x

3、)，則F(x)在[]a,b上一定連續(xù).*由于F(x)為g(x)在(,]ab上的原函數(shù)，所以當(dāng)x∈(a,b]時(shí)有F(x)=c+F(x).*令x→a+0，則得F(a+0)=c+F(a+0)，這說明F(a+0)存在.證畢.下面考查形如（1）式的分段函數(shù)f(x)的原函數(shù)問題.若f(x)在[a,b]上連續(xù)，就意味著f(x)在[a,c]1上連續(xù)，f(x)在(c,b]上連續(xù)，且f(c+0)=f(c).221有如下定理.?f(),xaxc≤≤;1定理設(shè)分段函數(shù)f(x)=?在[a,b]上連續(xù)，則?f(),xcxb<≤.21)存在f(x)在[]a,c上的一個(gè)原函數(shù)F(x)

4、及f(x)在(c,b]上的一個(gè)原函數(shù)F(x)，使F(c+0)存在11222且F(c+0)=F(c)；21?F1(x),a≤x≤c;2)F(x)=?就是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù).F(x),c

5、,女,湖北京山人,襄樊學(xué)院數(shù)學(xué)系高級(jí)講師.第28卷第2期襄樊學(xué)院學(xué)報(bào)2007年第2期**令F(x)=F(x)+F(c)?F(c+0)(2)2212則F(x)也是f(x)在(c,b]上的一個(gè)原函數(shù)，且F(c+0)=F(c).2221?F1(x),a≤x≤c;2)令F(x)=?（3）F(x),c

6、進(jìn)一步，對(duì)于無窮區(qū)間(?∞,+∞)的情形定理也成立.x?e,x≤0;示例1：求分段函數(shù)f(x)=?的一個(gè)原函數(shù).?x+1,x>0.x由于f(x)為()?∞,+∞上的連續(xù)函數(shù)，所以其原函數(shù)一定存在.當(dāng)x≤0時(shí)，e的一個(gè)原函數(shù)為2x*x0*F(x)=e；當(dāng)x>0時(shí)，x+1的一個(gè)原函數(shù)為F(x)=+x，由于F(0)=e=1，F(xiàn)(0+0)=0，121222**x由式(2)可得F(x)=F(x)+F(0)?F(0+0)=+x+1，22122x?e,x≤0;?2由式(3)可得F(x)=?x即是f(x)的一個(gè)原函數(shù).+x+1,x>0.??2[3]2分段函數(shù)f(x)在

7、區(qū)間[a,b]上x=c點(diǎn)處具有第一類間斷點(diǎn)的情形1)分段函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上，除x=c點(diǎn)處具有第一類跳躍間斷點(diǎn)外，在其它各點(diǎn)處處連續(xù)時(shí)，f(x)在x=c點(diǎn)處無原函數(shù).事實(shí)上，由于f(c?0)，f(c+0)均存在，但fc(0?)(0≠+fc).若f(x)在[]a,b上有原函數(shù)，設(shè)它1212的一個(gè)原函數(shù)為F(x)，則有l(wèi)imFxfc′()=+(0)，limFxfc′()=(?0)均存在.21xc→+0xc→?0′′′′由引理1知Fcfc()=+(0)，F(xiàn)cfc()=(?0)，所以F(c)≠F(c)，故F(x)在x=c處不可導(dǎo).故+2?1+?f(x

8、)在x=c點(diǎn)處無原函數(shù).2)分段函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上除x=c點(diǎn)處具有第一類可去間斷點(diǎn)