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1、云南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，36(5)：623—628DOI：10．754o／j．ynu．20140001JournalofYunnanUniversity一類四元素廣義Riemann邊值問題的封閉形式解陳金玉，柏森(1．重慶大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，重慶400030；2．重慶通信學(xué)院，重慶400035)摘要：考慮四元素的廣義Riemann邊值問題a(t)(t)+b(f)(t)=c(t)一(t)+d(t)一(t)+，(t)，t∈L，邊界￡為簡(jiǎn)單封閉的Lyapunov曲線．許多學(xué)者就該問題的Noether性質(zhì)、線性無(wú)關(guān)
2、解的個(gè)數(shù)、可解條件等方面作了深入的研究，問題求解情況也得到廣泛的關(guān)注，但是還沒有得到圓滿的解決．討論當(dāng)滿足條件a(t)=b(t)≠0，C(t)≠b(￡)時(shí)，上述問題的Noether性質(zhì)和求解情況，并通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，給出了問題的求解過程和解封閉形式．關(guān)鍵詞：四元素的廣義Riemann邊值問題；Markushevich問題；保形映射；共軛；求解中圖分類號(hào)：0174文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：0258—7971(2014)05—0623—06設(shè)簡(jiǎn)單封閉的Lyapunov曲線把復(fù)平面分為內(nèi)域D和外域D一2部分，原點(diǎn)0∈D．尋求在
3、D和D分片解析函數(shù)(z)，要求按照邊界條件0(f)(t)+6()()=c(t)一()+d()一(t)+t)，t∈L，(1)其中a(t)，b(￡)，c(t)，d(f))∈()．以上問題稱之為四元素的廣義Riemann邊值問題．前蘇聯(lián)學(xué)者對(duì)此作過多方面的研究，LitvinchukGS作了詳盡的總結(jié)，他概述了問題(1)的Noether性質(zhì)、線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)、可解條件等研究成果_1]．王傳榮、楊巧林用求標(biāo)準(zhǔn)商問題的解和壓縮映象原理相結(jié)合的方法求解四元素廣義Riemann問題，討論了可解條件，給出了解表達(dá)式．林玉波_4對(duì)系統(tǒng)項(xiàng)
4、作適當(dāng)限制后將問題轉(zhuǎn)化為三元素問題，并得到了一類四元素線性共軛邊值問題的封閉形式解，鄢盛勇借助積分方程理論和不動(dòng)點(diǎn)原理證明了邊值問題解的存在性，給出了帶位移的四元素邊值問題解的積分表達(dá)式．當(dāng)Ⅱ(￡)=1，b(￡)=0時(shí)，問題(1)可直接變?yōu)?t)=c(f)一()+d()一()+，(f)，t∈L，(2)問題(2)稱為廣義Riemann問題，由A．I．Markushevich于1946年首先提出]．1952年VekuaNP_7討論了它的正規(guī)可解性，1959年VekuaIN_8指出了它在曲面無(wú)限小變形上的應(yīng)用，接著，Boj
5、arskiBVE，MikhailovLI¨“，SabitovIN¨等討論了其Nother定理，LitvinchukGS概述了問題(2)的Noether問題、穩(wěn)定性等方面的研究成果[1]，并將結(jié)論推廣到帶位移的廣義Riemann邊值問題上．1987年王傳榮¨】討論了當(dāng)G(t)±G：(t)之一可亞純延拓至單位圓內(nèi)時(shí)，給出了單位圓問題(2)的封閉形式解．曹長(zhǎng)修，陳金玉¨于2001年討論并給出了退化情形下(IG(t)I=lG(t)1)帶位移的廣義Riemann邊值問題的封閉形式解，它包含LitvinchukGS的相關(guān)工作?，
6、并推廣了王傳榮的結(jié)果_】．2007年LiWeifeng，DuJinyuan通過將問題(2)轉(zhuǎn)化為Fredholm積分方程的方法，得到了單位圓下問題(2)解的表達(dá)式，并將結(jié)果推廣到實(shí)軸．·收稿日期：2014一Ol一13基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(61272043)；重慶市基礎(chǔ)與前沿研究計(jì)劃(cste2013jjB40009)．作者簡(jiǎn)介：陳金玉(1969一)，男，福建人，博士，副教授，主要從事解析函數(shù)邊值問題方面的研究．E—mail：cqchenjy@cqu．edu．cn624云南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)http：／／ww
7、w．yndxxb．ynu．edu．on第36卷解析函數(shù)邊值問題有著廣泛的應(yīng)用一，許多力學(xué)、物理學(xué)、工程技術(shù)中的實(shí)際問題往往可化為邊值問題．本文僅研究其中簡(jiǎn)單封閉的Lyapunov曲線下邊值問題(1)的求解，且當(dāng)0(t)=b(t)≠0，C(t)≠d(t)時(shí)，給出了問題(1)的求解情況．1問題的求解考慮滿足一(∞)=0簡(jiǎn)單封閉的Lyapunov曲線下廣義Riemann邊值問題(1)，其中口(t)，b(t)，c(t)，d(t)t)∈(L)，當(dāng)0(t)=b(t)≠0，c(t)≠d(t)時(shí)問題(1)的求解．可以通過保形映射將邊
8、界條件變?yōu)閱挝粓A周．事實(shí)上，假設(shè)函數(shù)=∞(z)和=∞一(z)分別把區(qū)域D和D一保角映射到圓周。的內(nèi)部和外部，用(∞)和z一()表示逆映射．由保角映射的理論可知，在關(guān)于邊界￡所做的假定下，函數(shù)∞(z)、∞一(z)和z(∞)、z一(∞)分別連續(xù)地延拓到和，，同時(shí)在L和￡上滿足Holder條件．這樣，問題(1)就化為單位圓域上的問題．因此，不失一般性
