期權(quán)定價中的蒙特卡洛模擬方法

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1、期權(quán)定價中的蒙特卡洛模擬方法期權(quán)作為最基礎(chǔ)的金融衍生產(chǎn)品之一，為其定價一直是金融工程的重要研究領(lǐng)域，主要使用的定價方法有偏微分方程法、鞅方法和數(shù)值方法。而數(shù)值方法又包括了二叉樹方法、有限差分法和蒙特卡洛模擬方法。蒙特卡洛方法的理論基礎(chǔ)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計，其實(shí)質(zhì)是通過模擬標(biāo)的資產(chǎn)價格路徑預(yù)測期權(quán)的平均回報并得到期權(quán)價格估計值。蒙特卡洛方法的最大優(yōu)勢是誤差收斂率不依賴于問題的維數(shù)，從而非常適宜為高維期權(quán)定價。§1.預(yù)備知識◆兩個重要的定理：柯爾莫哥洛夫(Kolmogorov)強(qiáng)大數(shù)定律和萊維一林德貝格(Levy-L

2、indeberg)中心極限定理。大數(shù)定律是概率論中用以說明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列極限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是隨機(jī)變量序列同分布的Kolmogorov強(qiáng)大數(shù)定律：設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，若則有顯然，若是由同一總體中得到的抽樣，那么由此大數(shù)定律可知樣本均值當(dāng)n很大時以概率1收斂于總體均值。44中心極限定理是研究隨機(jī)變量之和的極限分布在何種情形下是正態(tài)的，并由此應(yīng)用正態(tài)分布的良好性質(zhì)解決實(shí)際問題。設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，若則有其等價形式為?！鬊lack-Scholes期權(quán)定價模型模型的假

3、設(shè)條件：1、標(biāo)的證券的價格遵循幾何布朗運(yùn)動其中，標(biāo)的資產(chǎn)的價格是時間的函數(shù)，為標(biāo)的資產(chǎn)的瞬時期望收益率，為標(biāo)的資產(chǎn)的波動率，是維納過程。2、證券允許賣空、證券交易連續(xù)和證券高度可分。3、不考慮交易費(fèi)用或稅收等交易成本。4、在衍生證券的存續(xù)期內(nèi)不支付紅利。5、市場上不存在無風(fēng)險的套利機(jī)會。6、無風(fēng)險利率為一個固定的常數(shù)。下面，通過構(gòu)造標(biāo)的資產(chǎn)與期權(quán)的資產(chǎn)組合并根據(jù)無套利定價原理建立期權(quán)定價模型。首先，為了得到期權(quán)的微分形式，先介紹隨機(jī)微積分中的最重要的伊藤公式。44伊藤Ito公式：設(shè)，是二元可微函數(shù)，若隨機(jī)過程滿

4、足如下的隨機(jī)微分方程則有根據(jù)伊藤公式，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的運(yùn)動規(guī)律服從假設(shè)條件中的幾何布朗運(yùn)動時，期權(quán)的價值的微分形式為現(xiàn)在構(gòu)造無風(fēng)險資產(chǎn)組合，即有，經(jīng)整理后得到這個表達(dá)式就是表示期權(quán)價格變化的Black-Scholes偏微分方程。它同時適合歐式看漲期權(quán)、歐式看跌期權(quán)、美式看漲期權(quán)和美式看跌期權(quán)，只是它們的終值條件和邊界條件不同，其價值也不相同。歐式看漲期權(quán)的終邊值條件分別為，通過求解帶有終邊值條件的偏微分方程，得出歐式看漲期權(quán)的的解析解：其中，，，，為期權(quán)的執(zhí)行日期，為期權(quán)的執(zhí)行價格。44歐式看跌期權(quán)的終邊值條件分別

5、為，此外，美式看漲期權(quán)的終值條件為，美式看跌期權(quán)的終值條件為。然而，美式期權(quán)的價值沒有解析解，我們一般可通過數(shù)值方法（蒙特卡洛模擬、有限差分法等）求得其近似解。◆風(fēng)險中性期權(quán)定價模型如果期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)價格服從幾何布朗運(yùn)動即標(biāo)的資產(chǎn)的瞬時期望收益率取為無風(fēng)險利率。同理，根據(jù)伊藤公式可以得到對數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)：設(shè)，，則的密度函數(shù)為根據(jù)上述公式，得到標(biāo)的資產(chǎn)的密度函數(shù)如下44在風(fēng)險中性概率測度下，歐式看漲期權(quán)定價為：接下來，求解以上風(fēng)險中性期望。首先，對上式的右邊第一個廣義積分分別作變量替換和，可以得到再對等

6、式的右邊的第二個無窮積分，令，可求得44將以上的計算結(jié)果代入期望等式中，得到歐式看漲期權(quán)的價格公式為：其中，，?？梢钥闯?，對于歐式看漲期權(quán)的風(fēng)險中性定價方法的結(jié)果與基于資產(chǎn)復(fù)制的偏微分方程定價方法的結(jié)果是一致的?；陲L(fēng)險中性的期權(quán)定價原理在于：任何資產(chǎn)在風(fēng)險中性概率測度下，對于持有者來說都是風(fēng)險偏好中性的，便可用風(fēng)險中性概率求取期權(quán)的期望回報再將其進(jìn)行無風(fēng)險折現(xiàn)便是初始時刻的期權(quán)價值。蒙特卡洛模擬方法就是一種基于風(fēng)險中性原理的期權(quán)數(shù)值定價方法。§2.蒙特卡洛模擬方法及其效率假設(shè)所求量是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，那么近

7、似確定的蒙特卡洛方法是對進(jìn)行n次重復(fù)抽樣，產(chǎn)生獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，并計算樣本均值。那么根據(jù)Kolmogorov強(qiáng)大數(shù)定律有。因此，當(dāng)n充分大時，可用作為所求量的估計值。由中心極限定理可得到估計的誤差。設(shè)隨機(jī)變量44的方差，對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)，有這表明，置信水平對應(yīng)的漸近置信區(qū)間是。實(shí)際上，由此可確定蒙特卡洛方法的概率化誤差邊界，其誤差為，誤差收斂速度是。不難看出，蒙特卡洛方法的誤差是由和決定的。在對同一個進(jìn)行抽樣的前提下，若想將精度提高一位數(shù)字，要么固定，將n增大100倍；要么固定n將減小10倍。

8、若兩個隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，，那么無論從或中抽樣均可得到的蒙特卡洛估計值。比較其誤差，設(shè)獲得的一個抽樣所需的機(jī)時為，那么在時間T內(nèi)生成的抽樣數(shù)，若使，則需使。因而，若要提高蒙特卡羅方法的效率，不能單純考慮增加模擬的次數(shù)n或是減小方差，應(yīng)當(dāng)在減小方差的同時兼顧抽取一個樣本所耗費(fèi)的機(jī)時，使方差與機(jī)時t的乘積盡量的小?！?.蒙特卡洛模擬方法為期權(quán)定價的實(shí)現(xiàn)步驟期權(quán)定價的蒙特卡洛方法的理論依據(jù)是