期權(quán)定價(jià)中的蒙特卡洛模擬方法.pdf

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1、.期權(quán)定價(jià)中的蒙特卡洛模擬方法期權(quán)作為最基礎(chǔ)的金融衍生產(chǎn)品之一，為其定價(jià)一直是金融工程的重要研究領(lǐng)域，主要使用的定價(jià)方法有偏微分方程法、鞅方法和數(shù)值方法。而數(shù)值方法又包括了二叉樹(shù)方法、有限差分法和蒙特卡洛模擬方法。蒙特卡洛方法的理論基礎(chǔ)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，其實(shí)質(zhì)是通過(guò)模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑預(yù)測(cè)期權(quán)的平均回報(bào)并得到期權(quán)價(jià)格估計(jì)值。蒙特卡洛方法的最大優(yōu)勢(shì)是誤差收斂率不依賴于問(wèn)題的維數(shù)，從而非常適宜為高維期權(quán)定價(jià)?！?.預(yù)備知識(shí)◆兩個(gè)重要的定理：柯?tīng)柲缏宸?Kolmogorov)強(qiáng)大數(shù)定律和萊維一林德貝格(Levy-L

2、indeberg)中心極限定理。大數(shù)定律是概率論中用以說(shuō)明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列極限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是隨機(jī)變量序列同分布的Kolmogorov強(qiáng)大數(shù)定律：設(shè)1,2,為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，若n1E[k],k1,2,則有p(limk)1nnk1顯然，若1,2,,n是由同一總體中得到的抽樣，那么由n1此大數(shù)定律可知樣本均值當(dāng)n很大時(shí)以概率1收斂于knk1總體均值。.'.中心極限定理是研究隨機(jī)變量之和的極限分布在何種情形下是正態(tài)的，并由此應(yīng)用正態(tài)分布的良好性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。設(shè)1,2,為獨(dú)立同

3、分布的隨機(jī)變量序列，若nnk2k1dE[k],D[k],k1,2,則有N(0,1)nn1kx2其等價(jià)形式為nk11t。limP(x)exp()dt,xn22n◆Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型模型的假設(shè)條件：1、標(biāo)的證券的價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)dSdtdWS其中，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格S是時(shí)間t的函數(shù)，為標(biāo)的資產(chǎn)的瞬時(shí)期望收益率，為標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率，dW是維納過(guò)程。2、證券允許賣空、證券交易連續(xù)和證券高度可分。3、不考慮交易費(fèi)用或稅收等交易成本。4、在衍生證券的存續(xù)期內(nèi)不支付紅利。5、市場(chǎng)上不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì)。6

4、、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為一個(gè)固定的常數(shù)。下面，通過(guò)構(gòu)造標(biāo)的資產(chǎn)與期權(quán)的資產(chǎn)組合并根據(jù)無(wú)套利定價(jià)原理建立期權(quán)定價(jià)模型。首先，為了得到期權(quán)的微分形式，先介紹隨機(jī)微積分中的最重要的伊藤公式。伊藤Ito公式：設(shè)VV(S,t)，V是二元可微函數(shù)，若隨機(jī).'.過(guò)程S滿足如下的隨機(jī)微分方程dS(S,t)dt(S,t)dWS則有2VV122VVdV((S,t)S(S,t)S)dt(S,t)SdW2tS2SS根據(jù)伊藤公式，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律服從假設(shè)條件中的幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，期權(quán)的價(jià)值VV(S,t)的微分形式為2V122VVVdV(SS)d

5、tSdW2t2SSSV現(xiàn)在構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合VS，即有drdt，S經(jīng)整理后得到2V122VVSrSrV02t2SS這個(gè)表達(dá)式就是表示期權(quán)價(jià)格變化的Black-Scholes偏微分方程。它同時(shí)適合歐式看漲期權(quán)、歐式看跌期權(quán)、美式看漲期權(quán)和美式看跌期權(quán)，只是它們的終值條件和邊界條件不同，其價(jià)值也不相同。歐式看漲期權(quán)的終邊值條件分別為0S0V(S,T)V(S,T)max0,STK，SS通過(guò)求解帶有終邊值條件的偏微分方程，得出歐式看漲期權(quán)的的解析解：r(Tt)V(S,t)SN(d1)KeN(d2)2x21dln(S/K)

6、(r/2)(Tt)2N(d)edxd1其中，2，Tt，d2d1Tt，T為期權(quán)的執(zhí)行日期，K為期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格。.'.歐式看跌期權(quán)的終邊值條件分別為KS0V(S,T)V(S,T)max0,KST，0S此外，美式看漲期權(quán)的終值條件為V(S,t)max{0,SK}，美式看跌期權(quán)的終值條件為V(S,t)max{0,KS}。然而，美式期權(quán)的價(jià)值沒(méi)有解析解，我們一般可通過(guò)數(shù)值方法（蒙特卡洛模擬、有限差分法等）求得其近似解?！麸L(fēng)險(xiǎn)中性期權(quán)定價(jià)模型如果期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)dSrdtdWS即標(biāo)的資產(chǎn)的瞬時(shí)期望收益率取為

7、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r。同理，根據(jù)伊藤公式可以得到2dlnS(r)dtdW2222lnSTlnSt(r)(Tt)(WTWt)~N((r)(Tt),(Tt))222STStexp((r)(Tt)(WTWt))22對(duì)數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)：設(shè)~N(,)，e，則的密度函數(shù)為21(lnx)exp()x02P(x)2x20x0根據(jù)上述公式，得到標(biāo)的資產(chǎn)ST的密度函數(shù)如下.'.2x2(ln(r)(Tt))1St2P(x)exp()x022Ttx2(Tt)0x0在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下，歐式看漲期權(quán)定價(jià)為：QV(S,t)exp(r(Tt)

8、)E[max{0,STK}]2x2(ln(r)(Tt))Q1S2E[max{0,STK}]exp(2)dxK2Tt2Tt2x2(ln(r)(Tt))KS2exp()dx2Kx2Tt2Tt接下來(lái)，求解以上風(fēng)險(xiǎn)中性期望。首先，對(duì)上式的右邊第一個(gè)廣義積分分別作變量替換2xln(r)(Tt)S2yTt和uyTt，可以得到2x2(ln(r)(Tt))1S2exp()dx2K2Tt2