[東北大學(xué)][現(xiàn)代控制理論][08][狀態(tài)估計(jì)-卡爾曼濾波].ppt

《[東北大學(xué)][現(xiàn)代控制理論][08][狀態(tài)估計(jì)-卡爾曼濾波].ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、第八章狀態(tài)估計(jì)（卡爾曼濾波）8.1系統(tǒng)的描述8.2最小方差估計(jì)8.3線性最小方差估計(jì)8.4最小二乘估計(jì)8.5投影定理8.6卡爾曼濾波-狀態(tài)估計(jì)2005-11-58.1系統(tǒng)的描述8.1.1狀態(tài)空間模型隨機(jī)狀態(tài)空間模型描述：8.1.2差分方程模型隨機(jī)差分方程模型2005-11-58.2最小方差估計(jì)的誤差方陣為定義8.2.1使誤差方差陣最小的估計(jì)叫最小方差估計(jì)，是一個(gè)隨機(jī)向量。設(shè)的概率密度為，的概率密度為，二者的聯(lián)合概率密度為,則在Z=z條件下，的條件概率密度為2005-11-5證:使最小，等價(jià)于使最小。注意到定理8.2.1的最小

2、方差估計(jì)等于的條件條件均值為2005-11-5=+=可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方差最小陣2005-11-5的聯(lián)合分布例8.2.1設(shè)被估計(jì)量和觀測(cè)量的最小方差估計(jì)。如表8-1所示，試求表8-1xz-3-223-11/41/4001001/41/42005-11-5解的聯(lián)合分布和觀測(cè)量例8.2.2已知被估計(jì)量的最小方差估計(jì)和線性最小如表8-2所示,試求方差估計(jì)。2005-11-5zx-100112-11/102/1001/103/1011/102/10解:表8-22005-11-5估計(jì)誤差的方差為2005-11-5；例8.2.3設(shè)，其中

3、為測(cè)量噪聲，；，、互相獨(dú)。試求的最小方差估計(jì).立，解:由已知可求出DX=P，，再根據(jù)正態(tài)分布中的條件概率可知2005-11-58.3線性最小方差估計(jì)定義8.3.2使誤差方差陣8.3.1稱為的線性估計(jì)，其中為常量，為常陣，為維觀測(cè)向量。合概率密度或條件概率密度，在工程上最小方差是最理想的估計(jì)，但需要知道的聯(lián)常常難以實(shí)現(xiàn)。2005-11-5最小的線性估計(jì)稱為線性最小方差估計(jì)，記為令則于是有＝＝2005-11-5在右邊加減后配方，得要方差最小,必須令，由此推得：2005-11-5其誤差方差陣根據(jù)遍歷性定理，往往可以比較容易地求得通

4、常容易獲得。2005-11-5進(jìn)而求得例8.3.1設(shè)被估計(jì)量和觀測(cè)量的聯(lián)合分布如表8-1，試求的線性最小方估計(jì)解:根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以求出：2005-11-5解：例8.3.2已知和的聯(lián)合分布如表8-2,試求2005-11-5估計(jì)誤差為方差的線性最小方差估計(jì)為2005-11-5小于前面最小方差估計(jì)時(shí)的誤差方差線性最小方差估計(jì)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)為：(1)線性(2)無(wú)偏性(3)正交性由于所以2005-11-5可以證明，是唯一的這說明正交于2005-11-58.4最小二乘估計(jì)最小二乘估計(jì)是一種經(jīng)典的估計(jì)方法。為了估計(jì)未知量對(duì)它進(jìn)行次量測(cè)，量測(cè)值

5、為其中為已知量，為第次量測(cè)時(shí)的隨機(jī)誤差。設(shè)所得估計(jì)值為，則第次量測(cè)值與相應(yīng)估計(jì)值之間的誤差為將此誤差的平方和記為2005-11-5時(shí)取最小值的估計(jì)值成為位質(zhì)量的最小二乘估計(jì)，記作。使取最小值的準(zhǔn)則成為最小二乘準(zhǔn)則，根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則求估計(jì)值的方法稱為最小二乘法。下面來求最小二乘估計(jì)。采用向量矩陣形式記2005-11-5令當(dāng)存在時(shí)，可得到由于所以確為最小二乘估計(jì)。則有2005-11-5求的最小二乘估計(jì)。例8.4.1根據(jù)對(duì)二維向量的兩次觀測(cè)：解:采用記號(hào)2005-11-5則可將兩個(gè)觀測(cè)方程合成一個(gè)觀測(cè)方程這里，矩陣的秩為2，存在。

6、利用公式得2005-11-5在最小二乘估計(jì)中，既不需要知道聯(lián)合概率分布，也不需要知道隨機(jī)變量的二階矩。因此方便于實(shí)際應(yīng)用。但應(yīng)該注意最小二乘估計(jì)屬于線性估計(jì)，其誤差方差陣通常大于線性最小方差估計(jì)的誤差方差陣。2005-11-58.5投影定理（1）（2）（3）投影定理：則（8.5.1)則稱為在向量上的投影，記為定義：如果一個(gè)與同維數(shù)的隨機(jī)向量具有性質(zhì)1m(1)設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)向量、維數(shù)分別為與，其中為矩陣。2005-11-5式中證:根據(jù)投影定義和投影的唯一性原理，只需證明它們滿足定義中的三個(gè)性質(zhì)。(1)首先證明第一部分(8.5.2

7、)令；則：2.設(shè)為三個(gè)隨機(jī)向量，維數(shù)分別為。2005-11-5①線性因?yàn)槭堑木€性函數(shù)，所以也是的線性函數(shù)。②無(wú)偏性無(wú)偏性得證。③正交性（2）其次證明第二部分的線性函數(shù)，①線性因?yàn)槭呛鸵虼说木€性函數(shù)。是而和合起來是的線性函數(shù)。2005-11-5②無(wú)偏性③正交性1Z式(8.5.1)的幾何意義為：由維隨機(jī)向量的分量所組成的l維隨機(jī)向量在空間上的投影等于先用維隨機(jī)向量在空間上的投影，再乘上A矩陣所構(gòu)成的隨機(jī)向量。1Z2005-11-58.6卡爾曼濾波-狀態(tài)估計(jì)投影，另一個(gè)分量為子空間中的投影。其中式(8.5.2)的幾何意義為：隨機(jī)向

8、量在上投影等于二個(gè)分量之和。一個(gè)分量為在子空間中的子空間⊥子空間。8.6.1無(wú)控制項(xiàng)的線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的濾波考慮離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(8.6.1)(8.6.2)2005-11-5其中；；為模型噪聲為觀測(cè)向量，為觀測(cè)噪聲；為已知觀測(cè)矩陣。表示利用對(duì)第的估計(jì)值當(dāng)j=k時(shí)稱為濾波值；j>k時(shí)稱為外推或預(yù)報(bào)值