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《高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)講練測(cè)——專題三 三角函數(shù) 專題復(fù)習(xí)講練 2 三角恒等變換》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、§2 三角恒等變換 一、復(fù)習(xí)要點(diǎn) 三角函數(shù)式的恒等變換是解答三角函數(shù)問(wèn)題的方法基礎(chǔ).所謂三角式的恒等變換,就是運(yùn)用有關(guān)概念和公式把給定的三角式化為另一等價(jià)形式.同一式子的不同形狀,可以暴露式子的不同整體性質(zhì),我們對(duì)式子作恒等變換的目的,就是要把我們所需的整體性質(zhì)顯現(xiàn)出來(lái).?對(duì)式子的一次變形常常不能得到所需形狀,須經(jīng)過(guò)數(shù)次變形轉(zhuǎn)化,才能達(dá)到目的.如何選擇變形起步點(diǎn)?如何一步一步把給定式子轉(zhuǎn)化為所需形狀?通過(guò)對(duì)例題及訓(xùn)練題的分析,總結(jié)歸納出思維規(guī)律來(lái),這是本節(jié)復(fù)習(xí)的重難點(diǎn);本節(jié)復(fù)習(xí)的另一重點(diǎn)是,如何把一個(gè)三角函數(shù)問(wèn)題化歸為三角式的恒等變形問(wèn)題. 三角式的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題,是訓(xùn)練三角恒等變
2、換的基本題型. 求三角函數(shù)的最小正周期、求三角函數(shù)最值、證明三角恒等式、解證三角方程或三角不等式問(wèn)題,一般都要借助三角恒等變換而完成. 聯(lián)想三角公式與基本題型,并把二者與方程、不等式觀點(diǎn)綜合運(yùn)用,這是運(yùn)用三角恒等變換解答三角函數(shù)問(wèn)題的思維關(guān)鍵.? 例1 (1)函數(shù)y=2sinxcosx+2cos2x的最小正周期是( );A.(π/2) ?。拢小 。茫?π ?。模?π(2)函數(shù)y=2sinxsin2x的最大值是( ?。?;A.(64/27) B.(8/9) C.2 D.(/2)(3)若(1/cosθ)-(1/sinθ)=1,則sin2θ的值等于_________.
3、 講解:(1)本題是判定一個(gè)較復(fù)雜三角函數(shù)的最小正周期問(wèn)題.聯(lián)想與此問(wèn)題有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)與方法,想起我們會(huì)求角為ωx+φ的基本三角函數(shù)的最小正周期,自然產(chǎn)生這樣一個(gè)解題念頭:希望運(yùn)用三角公式和概念把原函數(shù)式變形為y=Asin(ωx+φ)+B(或y=A·cos(ωx+φ)+B)的形式,然后用熟知方法求出最小正周期.在這一思路指導(dǎo)下,著重觀察已知三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),朝著既定目標(biāo)方向,發(fā)現(xiàn)用倍角公式與和角公式能完成變形工作,得解法如下: y=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+(π/6))+1, ∴?。裕剑?π/2)=π,故選B. ?。?)本題是一道
4、無(wú)附加條件的最值問(wèn)題.回憶求三角函數(shù)最值的基本模型方法,想到用三角恒等變換向基本模型轉(zhuǎn)化,但轉(zhuǎn)化方向一下看不透,應(yīng)在變形過(guò)程中逐步明朗化. 首先想到應(yīng)用倍角公式,把原式化為y=4sin2xcosx,接著思考第二步變形.想法一:希望把原式化為y=Asin(ωx+φ)+B的形式;想法二:希望把原式化為二次函數(shù)模型.這兩種轉(zhuǎn)化思維均受阻以后,應(yīng)重新深入分析y=4sin2xcosx的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),從中找出轉(zhuǎn)化的新出路. 注意到y(tǒng)的最大值應(yīng)在cosx>0時(shí)取得,因此:①y=4sin2xcosx可視為正變量的乘積,所以y與y2=16sin4xcos2x同時(shí)取得最大值;②由y2的表達(dá)形式與sin2x+co
5、s2x=1,聯(lián)想到均值不等式,產(chǎn)生出想用均值不等式實(shí)施轉(zhuǎn)化的思維方向——設(shè)法把式子變形為能用均值不等式求最值的形式.構(gòu)思后,可得如下解法:當(dāng)cosx>0時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)sin2x=2cos2x,即cos2x=(1/3)時(shí),等號(hào)成立.故選B. (3)這是一道填空題.條件為:sinθ與cosθ滿足的一個(gè)方程式;目標(biāo)為:求sin2θ的值.由目標(biāo)首先聯(lián)想到正弦倍角公式,得sin2θ=2sinθ·cosθ,看到了目標(biāo)與條件的內(nèi)在聯(lián)系,萌發(fā)出解題的方程觀點(diǎn),想到由方程組(1/cosθ)-(1/sinθ)=1,求出sin2θ.sin2θ+cos2θ=1,細(xì)思考感覺(jué),先求出sinθ與cosθ
6、的方法比較繁,暫不采?。D(zhuǎn)而思考:能否對(duì)條件中的方程式實(shí)施三角恒等變換,產(chǎn)生出關(guān)于sin2θ的方程而求得其值.朝著這一既定方向,運(yùn)用三角恒等變換和解方程的方法,便可獲得如下兩種解法:解法1(1/cosθ)-(1/sinθ)=1((1/cosθ)-(1/sinθ))2=11/cos2θ)-(2/sinθcosθ)+(1/sin2θ)=1(1/sin2θcos2θ)-(2/sinθcosθ)=1,即(1/sinθcosθ)2-2(1/sinθcosθ)-1=0. 解得?。?/sinθcosθ)=1±. 又由
7、sinθcosθ
8、≤1|(1/sinθcosθ)|≥1, ∴(1/sinθc
9、osθ)=1+,∴sinθcosθ=-1.故sin2θ=2(-1). 解法2(1/cosθ)-(1/sinθ)=1sinθ-cosθ=sinθcosθ1-2(sinθ-cosθ)=1-2sinθcosθ=(sinθ-cosθ)2,即(sinθ-cosθ)2+2(sinθ-cosθ)-1=0. 解得sinθ-cosθ=-1±. 又因 |sinθ-cosθ|=|sinθcosθ|≤1, ∴s