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《高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)講練測(cè)——專題三 三角函數(shù) 專題復(fù)習(xí)講練 2 三角恒等變換》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、§2 三角恒等變換 一、復(fù)習(xí)要點(diǎn) 三角函數(shù)式的恒等變換是解答三角函數(shù)問(wèn)題的方法基礎(chǔ)．所謂三角式的恒等變換，就是運(yùn)用有關(guān)概念和公式把給定的三角式化為另一等價(jià)形式．同一式子的不同形狀，可以暴露式子的不同整體性質(zhì)，我們對(duì)式子作恒等變換的目的，就是要把我們所需的整體性質(zhì)顯現(xiàn)出來(lái)．?對(duì)式子的一次變形常常不能得到所需形狀，須經(jīng)過(guò)數(shù)次變形轉(zhuǎn)化，才能達(dá)到目的．如何選擇變形起步點(diǎn)?如何一步一步把給定式子轉(zhuǎn)化為所需形狀?通過(guò)對(duì)例題及訓(xùn)練題的分析，總結(jié)歸納出思維規(guī)律來(lái)，這是本節(jié)復(fù)習(xí)的重難點(diǎn)；本節(jié)復(fù)習(xí)的另一重點(diǎn)是，如何把一個(gè)三角函數(shù)問(wèn)題化歸為三角式的恒等變形問(wèn)題． 三角式的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題，是訓(xùn)練三角恒等變
2、換的基本題型． 求三角函數(shù)的最小正周期、求三角函數(shù)最值、證明三角恒等式、解證三角方程或三角不等式問(wèn)題，一般都要借助三角恒等變換而完成． 聯(lián)想三角公式與基本題型，并把二者與方程、不等式觀點(diǎn)綜合運(yùn)用，這是運(yùn)用三角恒等變換解答三角函數(shù)問(wèn)題的思維關(guān)鍵．? 例1 （1）函數(shù)ｙ＝2ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋2ｃｏｓ２ｘ的最小正周期是（ ）；Ａ．（π／2） ?。拢小 。茫?π ?。模?π（2）函數(shù)y=2sinxsin2x的最大值是（ ?。?；A．（64／27） B．（8／9） C．2 D．（／2）（3）若（1／cosθ）-（1／sinθ）=1，則sin2θ的值等于_________.
3、 講解：（1）本題是判定一個(gè)較復(fù)雜三角函數(shù)的最小正周期問(wèn)題．聯(lián)想與此問(wèn)題有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)與方法，想起我們會(huì)求角為ωｘ＋φ的基本三角函數(shù)的最小正周期，自然產(chǎn)生這樣一個(gè)解題念頭：希望運(yùn)用三角公式和概念把原函數(shù)式變形為ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）＋Ｂ（或ｙ＝Ａ·ｃｏｓ（ωｘ＋φ）＋Ｂ）的形式，然后用熟知方法求出最小正周期．在這一思路指導(dǎo)下，著重觀察已知三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，朝著既定目標(biāo)方向，發(fā)現(xiàn)用倍角公式與和角公式能完成變形工作，得解法如下： ｙ＝2ｓｉｎｘｃｏｓｘ+2ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ2ｘ＋ｃｏｓ2ｘ＋1＝2ｓｉｎ（2ｘ＋（π／6））＋1， ∴?。裕剑?π／2）＝π，故選B． ?。?）本題是一道
4、無(wú)附加條件的最值問(wèn)題.回憶求三角函數(shù)最值的基本模型方法，想到用三角恒等變換向基本模型轉(zhuǎn)化，但轉(zhuǎn)化方向一下看不透，應(yīng)在變形過(guò)程中逐步明朗化． 首先想到應(yīng)用倍角公式，把原式化為y=4sin２xcosx，接著思考第二步變形．想法一：希望把原式化為y=Asin（ωx+φ）＋Ｂ的形式；想法二：希望把原式化為二次函數(shù)模型．這兩種轉(zhuǎn)化思維均受阻以后，應(yīng)重新深入分析y=4sin２xcosx的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從中找出轉(zhuǎn)化的新出路． 注意到y(tǒng)的最大值應(yīng)在cosx＞0時(shí)取得，因此：①y=4sin２xcosx可視為正變量的乘積，所以y與y２＝16sin４xcos２x同時(shí)取得最大值；②由y２的表達(dá)形式與sin２x+co
5、s２x=1，聯(lián)想到均值不等式，產(chǎn)生出想用均值不等式實(shí)施轉(zhuǎn)化的思維方向——設(shè)法把式子變形為能用均值不等式求最值的形式．構(gòu)思后，可得如下解法：當(dāng)cosx＞0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)sin２x=2cos２x，即cos２x=（1／3）時(shí)，等號(hào)成立．故選B． （3）這是一道填空題.條件為：sinθ與cosθ滿足的一個(gè)方程式；目標(biāo)為：求sin2θ的值．由目標(biāo)首先聯(lián)想到正弦倍角公式，得sin2θ＝2ｓｉｎθ·cosθ，看到了目標(biāo)與條件的內(nèi)在聯(lián)系，萌發(fā)出解題的方程觀點(diǎn)，想到由方程組（1／ｃｏｓθ）－（1／ｓｉｎθ）＝1，求出sin2θ.ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝1，細(xì)思考感覺(jué)，先求出sinθ與cosθ
6、的方法比較繁，暫不采?。D(zhuǎn)而思考：能否對(duì)條件中的方程式實(shí)施三角恒等變換，產(chǎn)生出關(guān)于sin2θ的方程而求得其值．朝著這一既定方向，運(yùn)用三角恒等變換和解方程的方法，便可獲得如下兩種解法：解法1（1／ｃｏｓθ）－（1／ｓｉｎθ）＝1（（1／ｃｏｓθ）－（1／ｓｉｎθ））２＝11／ｃｏｓ２θ）－（2／ｓｉｎθｃｏｓθ）＋（1／ｓｉｎ２θ）＝1（1／ｓｉｎ２θcos２θ）－（2／ｓｉｎθｃｏｓθ）＝1，即（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）２－2（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）－1＝0． 解得?。?／ｓｉｎθｃｏｓθ）＝1±． 又由
7、ｓｉｎθｃｏｓθ
8、≤1｜（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）｜≥1， ∴（1／ｓｉｎθｃ
9、ｏｓθ）＝1＋，∴ｓｉｎθｃｏｓθ＝－1．故ｓｉｎ2θ＝2（－1）． 解法2（1／ｃｏｓθ）－（1／ｓｉｎθ）＝1ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝sinθｃｏｓθ1－2（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）＝1－2ｓｉｎθｃｏｓθ＝（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）２，即（sinθ－ｃｏｓθ）２＋2（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）－1＝0． 解得sinθ－ｃｏｓθ＝－1±． 又因 ｜ｓｉｎθ－ｃｏｓθ｜＝｜ｓｉｎθｃｏｓθ｜≤1， ∴ｓ
