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《高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)講練測(cè)——專題三 三角函數(shù) 專題復(fù)習(xí)講練 1 三角函數(shù)的性質(zhì)與圖象》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、§1三角函數(shù)的性質(zhì)與圖象 一、復(fù)習(xí)要點(diǎn)? 三角函數(shù)的性質(zhì)(包括三角公式)與圖象是解答三角函數(shù)問(wèn)題的知識(shí)基礎(chǔ);借助三角函數(shù)的圖象來(lái)理解、掌握、運(yùn)用三角函數(shù)的基本性質(zhì),是常用的復(fù)習(xí)方法. 三角函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性、值域性質(zhì)、關(guān)系性質(zhì)(包括相等關(guān)系與不等關(guān)系)的判定與應(yīng)用,是本節(jié)復(fù)習(xí)的重點(diǎn);掌握好圖形變換中,三角函數(shù)的圖象、表達(dá)式及其性質(zhì)的對(duì)應(yīng)變化規(guī)律(要求能把這種規(guī)律遷移到一般函數(shù)理論中),是本節(jié)復(fù)習(xí)的又一重點(diǎn),也是難點(diǎn). 二、例題講解 例1(1)如果α,β∈((π/2),π),且tgα<ctgβ,那么必有( ?。 。粒粒鸡? ?。拢?/p>
2、<α ?。茫粒拢迹?/2)π ?。模粒拢荆?/2)π ?。?992年高考文科試題) (2)滿足arccos(1-x)≥arccosx的取值范圍是( ?。 。粒郏?,-(1/2)] ?。拢郏?/2),0] ?。茫?,(1/2)] D.[(1/22),1] ?。?997年高考理科試題) (3)已知點(diǎn)P(sinα-cosα,tgα)在第一象限,則在[0,2π)內(nèi)α的取值范圍是________. ?。?998年高考題) 講解:(1)本題要用已知的正切函數(shù)tgα與余切函數(shù)ctgβ的大小關(guān)系,來(lái)推斷角α與β的大
3、小關(guān)系,回憶與這個(gè)問(wèn)題緊密相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)與方法,若想到函數(shù)的單調(diào)性和利用單位圓作直觀分析的方法,可理出如下推斷方法:圖3-1 在單位圓的第二象限中,讓角α、β沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),則看到:tgα從-∞開始單調(diào)遞增到0,而ctgβ從0開始單調(diào)遞減向-∞;若α與β重合在第二象限的角平分線上,則tgα=ctgβ=-1.立知當(dāng)α與β在第二象限的上半象限中任意變化,即α,β∈((π/2),(3π/4))時(shí),總有tgα<ctgβ;而α,β∈((3π/4),π)時(shí),總有tgα>ctgβ.從而由α,β∈((π/2),π),tgα<ctgβ,推出π<α+β<(3π/2).選C. 若想
4、用解不等式的方法作推斷,并在變形中巧用正切倍角公式,又得如下解法: ∵ α,β∈((π/2),π), tgα<ctgβtgα<(1/tgβ)tgαtgβ>1 1-tgαtgβ<0(tgα+tgβ)/tg(α+β))<0, ∴?。簦绂粒迹悖簦绂拢ǎ簦绂粒簦绂拢簦纾é粒拢?. ∵ tgα+tgβ<0, ∴?。簦纾é粒拢?,并推得π<α+β<(3π/2). 故選C. 若考慮函數(shù)的單調(diào)性,由tgα<ctgβ,得 ?。簦绂粒迹簦纾ǎ?/2)π-β). ∵ α,β∈((π/2),π),∴?。?/2)π-β∈((π/2),π). 又y=tgx在
5、((π/2),π)上是增函數(shù), ∴ α<(3/2)π-β,故選C. 此題還可以用極限思想做推斷: 當(dāng)(π/2)<α<π,(π/2)<β<π,且α→(π/2),β→(π/2)時(shí),有tgα→-∞,ctgβ→0. ∴總有tgα<ctgβ成立.可見A、B、D均不成立,故選C.?。?)本題是關(guān)于反余弦函數(shù)的簡(jiǎn)單不等式解集的判定問(wèn)題.若想利用反余弦函數(shù)的圖象來(lái)分析判定,則先想出或畫出草圖.由圖可知,反余弦函數(shù)在定義域[-1,1]上單調(diào)遞減,所以原不等式等價(jià)于1-x≤xx≥(1/2)(1/2)≤x≤1.-1≤x≤1,0≤x≤1-1≤1-x≤1 故而選D.圖3-2 若能
6、注意到,在x軸上x與1-x兩點(diǎn)關(guān)于(1/2)點(diǎn)對(duì)稱,則由圖象立即看出x的取值范圍是(1/2)≤x≤1. 若想利用特殊值法判定,則?。剑?/2),可排除A、B;取x=0,可排除C. ?。?)本題的條件是幾何型的,而目標(biāo)卻是求變量α的取值范圍,所以解答此題,應(yīng)首先將幾何型條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式或不等式組,然后分析求解得出答案.現(xiàn)分析解答如下. 點(diǎn)P(sinα-cosα,tgα)在第一象限sinα-cosα>0,sinα>cosα,①tgα>0tgα>0.② 在單位圓中分析易知:滿足不等式①的α為第一、三象限角平分線左上方半圓中的角;滿足不等式②的α角為第一或第三象
7、限中的角.圖3-3 故取以上兩個(gè)α的變化范圍所對(duì)應(yīng)的集合與區(qū)間[0,2π)的交集,即得α的取值范圍是((π/4),(π/2))∪(π,(5π/4)). 例2 把函數(shù)y=sin(ωx+φ)(其中φ為銳角)的圖象至少向右平移(π/8)或至少向左平移(3π/8),可使對(duì)應(yīng)的函數(shù)成為奇函數(shù).則函數(shù)y=sin(ωx+φ)的一條對(duì)稱軸為( ?。 。粒剑é校?) B.x=(π/4) ?。茫剑é校?) D.x=(5π/8) 講解:從題目的條件可以發(fā)現(xiàn)這樣兩個(gè)信息:第一,此函數(shù)的周期為π;第二,平移后函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn).由前者得ω=2;圖象向右平移