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《常微分方程試卷及答案.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、2010-2011學(xué)年第二學(xué)期常微分方程考試AB卷答案理學(xué)院年級信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)填空題（每題4分，共20分）1.形如（連續(xù)）的方程是一階線性微分方程，它的通解為.2.形如的方程是3階__齊次__(“齊次”還是”非齊次”)___常__系數(shù)的微分方程,它的特征方程為.3.形如的方程為歐拉方程,可通過變換把它轉(zhuǎn)化成常系數(shù)方程.4.滿足初始條件：=0,=1的特解5．5.微分方程的解存在且唯一的條件是:在R上連續(xù)且滿足利普希茨條件一、下列微分方程的解（每題5分，共30分）1．=解：令x+y=u,則=-1……………………….3-1=u-
2、arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.……………………….52．解：兩邊同乘以得：……………………….3故方程的通解為：……………………….53．解：令，則，兩邊對x求導(dǎo)，得，……………………….3解之得，所以，……………………….4且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.……………………….54.解：特征方程有三重根，，……………………….3故通解為……………………….55.解：特征方程有根0,齊線性方程的通解為x=……………………….3又因?yàn)?是特征根，故可以取特解行如代入原方程解得A=，B=……………………….
3、4故通解為x=……………………….56.解:原方程可化為………………………1分離變量可得…………………………………………………..3兩邊積分可得…………………………………………………..4將初值代入上式求得方程的解:……………………….5一、求下列方程（組）的通解（每題10分，共30分）1．求一曲線，使其任一點(diǎn)的切線在軸上的截距等于該切線的斜率.解：設(shè)為所求曲線上的任一點(diǎn)，則在點(diǎn)的切線在軸上的截距為：……………………….3由題意得即也即兩邊同除以，得………………….5即……………………….7即……………………….10為方程的解
4、。2.滿足初值條件解:方程組的特征值,……………………….2對應(yīng)特征值的特征向量應(yīng)滿足對任意常數(shù),,取,得……………………….4對應(yīng)特征值的特征向量應(yīng)滿足對任意常數(shù),,取,得……………………….6所以基解矩陣為:……………………….8=………….103.求方程通過點(diǎn)的第二次近似解.解:令，于是…………………….5…………….10五、應(yīng)用題（10分）33.摩托艇以5米/秒的速度在靜水運(yùn)動(dòng)，全速時(shí)停止了發(fā)動(dòng)機(jī)，過了20秒鐘后，艇的速度減至米/秒。確定發(fā)動(dòng)機(jī)停止2分鐘后艇的速度。假定水的阻力與艇的運(yùn)動(dòng)速度成正比例。解：，又，由此即…
5、……………….5其中，解之得又時(shí)，；時(shí)，。故得，從而方程可化為………………….7當(dāng)時(shí)，有米/秒……………….8即為所求的確定發(fā)動(dòng)機(jī)停止2分鐘后艇的速度?！?10六、證明題（10分）1、試證:非齊次線性微分方程組的疊加原理:即:設(shè)分別是方程組的解，則是方程組的解.證明：（1）（2）分別將代入（1）和（2）則………………….5則令即證………………….102010-2011學(xué)年第二學(xué)期常微分方程考試B卷答案理學(xué)院年級信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)一、填空題（每題4分，共20分）1.是恰當(dāng)方程的充要條件是；其通解可用曲線積分表示為.2
6、．方程叫克萊羅方程，其通解是，其奇解是.3.形如的方程是2階非齊次(“齊次”還是”非齊次”)_常系數(shù)的微分方程,它的特征方程的特征根為.4.若是同一線性方程的基解方陣，則它們間有關(guān)系.5．5.微分方程的解存在且唯一的條件是:在R上連續(xù)且滿足利普希茨條件二、下列微分方程的解（每題5分，共30分）1.解：令…………….1則：即得到故即…………………….4另外也是方程的解。.…………………….52.=解：y=()…………………….3=[-e()+c]=ce-()是原方程的解?！?53．。設(shè)…………………….3……………
7、……….4，解為…………………….54.解：特征方程有復(fù)數(shù)根,……….3故通解為…………………….55.解:原方程可化為故…………………….56.解：特征方程有根-2,-4…………………….1故齊線性方程的通解為x=…………………….3-2是特征方程的根，故代入原方程解得A=……………….4故通解為x=……………….5三、求下列方程（組）的通解（每題10分，共30分）1.解：特征方程有2重根-a………………..2當(dāng)a=-1時(shí)，齊線性方程的通解為s=,1是特征方程的2重根，故代入原方程解得A=通解為s=,………………………………
8、……..6當(dāng)a-1時(shí)，齊線性方程的通解為s=,1不是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解為s=+…………………………..102.求其基解矩陣.解:det（E－A）=0得＝，＝－……………….3對應(yīng)于的特征向量為u＝，（0）對應(yīng)于的特征向量為v＝，（）……………….5∴u＝
