13常微分方程試卷A及答案

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1、鹽城師范學(xué)院考查試卷2014-2015學(xué)年第一學(xué)期數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)《常微分方程》試卷A班級(jí)學(xué)號(hào)姓名一、單項(xiàng)選擇題（在每小題的4個(gè)備選答案中，選出一個(gè)最佳答案，共5小題；每小題3分，共15分）1.方程不是（）（A）齊次微分方程.（B）貝努利微分方程.（C）變量分離方程.（D）非線性微分方程.2.微分方程滿(mǎn)足條件的解有（）（A）1個(gè).（B）2個(gè).（C）3個(gè).（D）無(wú)窮多個(gè).3.微分方程的基本解組的朗斯基行列式的值為（）（A）.（B）.（C）.（D）.4.微分方程的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（）（A）.（B）.（C）.（D）.5.可以成為微分方程組的基解矩陣是（）（A）.（B

2、）.（C）.（D）.二、填空題（本大題5空,每空3分,共15分）1.當(dāng)____________時(shí)，是微分方程的解.2.微分方程有積分因子____________________________.3.微分方程與直線相切的解是_____________________.4.通解為的三階常系數(shù)齊線性微分方程為_(kāi)__________________.5.證明微分方程組滿(mǎn)足初值條件的解的存在唯一性定理時(shí)所構(gòu)造的皮卡逐步逼近向量函數(shù)序列為_(kāi)______________________________。三、計(jì)算題（本大題共5小題,每小題10分,共50分）1.設(shè)連續(xù)，且滿(mǎn)足，求.2.利

3、用解的存在唯一性定理確定初值問(wèn)題的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解,.3.解方程.4．求解方程.5．解方程組四、應(yīng)用題（本大題共1題，共10分）求一曲線，使其具有性質(zhì)：曲線上每一點(diǎn)處的切線，切點(diǎn)到原點(diǎn)的向徑以及軸圍成一個(gè)等腰三角形(以軸為底)，且通過(guò)點(diǎn)(1，2).五、證明題（本大題共1題，共10分）設(shè)為常數(shù)矩陣,為微分方程組的定義在上的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣,所謂標(biāo)準(zhǔn)是指還滿(mǎn)足，試證明:,有，其中為某一確定的值.6誠(chéng)信考試承諾我承諾：追求真知，展示真我，誠(chéng)實(shí)守信，杜絕作弊。承諾人：鹽城師范學(xué)院2014—2015學(xué)年第一學(xué)期期末考查《常微分方程》試卷A答題紙學(xué)院班級(jí)姓名學(xué)號(hào)題號(hào)一二三

4、四五六總分得分本題得分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共5題，每題3分，共15分）題號(hào)12345答案本題得分二、填空題(本大題共5空，每空3分，共15分)1.。2.。3.。4.。5.。本題得分本題得分三、計(jì)算題（本大題共5題，每題10分，共50分）1．解:2．解:63．解:4．解:5．解:6本題得分四、應(yīng)用題（本大題共1題，共10分）解:本題得分本題得分五、證明題（本大題共1題，共10分）證明:6鹽城師范學(xué)院2014—2015學(xué)年第一學(xué)期期末考查《常微分方程》試卷A參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5題，每題3分，共15分)題號(hào)12345答案CDAAB二、填空題(本大題共

5、5空，每空3分，共15分)1.2；2.；3.;4.；5.,.三、計(jì)算題（本大題共5題，每題10分，共50分）1．解:所給積分方程兩邊關(guān)于求導(dǎo),得,(4分)由積分方程還可以得到.上述方程為一階線性微分方程,它的通解為,(8分)由，故.(10分)1．解:這里.由解的存在唯一性定理知該初值問(wèn)題的解的存在區(qū)間為。(5分)我們可以作如下的近似解表達(dá)式：(10分)3．解:令直接計(jì)算可得，代入原方程,得,(4分)即，由后一方程積分后得,即.(8分)由,而當(dāng).于是,(10分)4．解:所給方程的特征方程為，解之得特征根為.(3分)因是特征根,所以可設(shè)特解為,(5分)求導(dǎo)得，.代入所給方程

6、得.比較系數(shù)得，，則特解為.(7分)于是原方程通解為.(10分)5．解：所給方程組的特征方程為6.解之得特征根為，，.(3分)解方程組得與對(duì)應(yīng)的特征向量為;解方程組得與對(duì)應(yīng)的特征向量為;解方程組得與對(duì)應(yīng)的特征向量為.(9分)于是所求方程組的通解為(10分)四、應(yīng)用題（本大題共1題，共10分）解：設(shè)所求曲線方程為，為其上的任一點(diǎn)，則過(guò)該點(diǎn)曲線的切線方程為，(3分)它與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意有,即.因所求曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2),顯然不合題意,事實(shí)上,曲線上過(guò)點(diǎn)(1,2)處的切線為和點(diǎn)(1,2)處的向徑所在的直線重合,這與題設(shè)相矛盾.所以有，（7分）它的通解為，將條件代入得

7、所求曲線方程為。（10分）五、證明題（本大題共1題，共10分）證明:因?yàn)闉樗o方程組的解,所以,有,又矩陣為常數(shù)矩陣,所以,有,(4分)且有,則也是所給方程組的基解矩陣.因而存在常數(shù)方陣使,有.（7分）又,故在上式中令,得.因而有,.（10分）6