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《常微分方程【13】》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、§5.2線性微分方程組的一般理論一階線性微分方程組:稱(5.15)為一階齊線性微分方程組.非齊線性微分方程組.一齊次線性微分方程組1疊加原理定理2證明:則有所以2函數(shù)向量組線性相關(guān)與無關(guān)證明:例1證明:函數(shù)向量組在任何區(qū)間都是線性相關(guān)的.證明:要使例2證明:函數(shù)向量組則需因為所以故線性無關(guān).3函數(shù)向量組線性相關(guān)與無關(guān)的判別準(zhǔn)則(1)Wronsky行列式由這n個向量函數(shù)所構(gòu)成的行列式稱為這n個向量函數(shù)所構(gòu)成的Wronsky行列式(2)定理3證明:相關(guān),(3)定理4證明:“反證法”則現(xiàn)在考慮函數(shù)向量由定理2知,由(5.17)知,因此,
2、由解的存在唯一性定理知,即有矛盾注1:注2:(4)定理5(5.15)一定存在n個線性無關(guān)的解.證明:由解的存在唯一性定理知,(5.15)一定存在滿足初始條件且4通解結(jié)構(gòu)及基本解組定理6證明:由已知條件,又因為從而可知即它們構(gòu)成n維線性空間的基,現(xiàn)在考慮函數(shù)向量由定理2知,由(5.20)知,因此,由解的存在唯一性定理,應(yīng)有即推論1(5.15)的線性無關(guān)解的最大個數(shù)等于n.基本解組:為(5.15)的一個基本解組.注1:(5.15)的基本解組不唯一.注2:(5.15)所有解的集合構(gòu)成一個n維線性空間.注3:由n階線性微分方程的初值問題(
3、5.6)與線性微分方組的初值問題(5.7)的等價性描述,本節(jié)所有定理都可平行推論到n階線性微分方程去.首先有:線性相關(guān).證明:即有即向量組(*)是線性相關(guān)的.反之,如果向量組(*)是線性相關(guān),當(dāng)然有從而,從4.1.2中Wronsky行列式的概念可看出,從本節(jié)定理3,4,5立即分別推出第四章定理3,4,5.從本節(jié)定理6立即得到推論25解矩陣與基解矩陣及性質(zhì)(1)定義則稱這個矩陣為(5.15)的解矩陣.則稱該解矩陣為(5.15)的基解矩陣.基解矩陣----以基本解組為列構(gòu)成的矩陣.由定理5,6得由定理3,4得注1:行列式恒等于零的矩陣
4、列向量未必線性相關(guān).如矩陣注2:例3驗證是方程組的基解矩陣.解:由于又由于證明:證明:于是有由此可得即有例4驗證是方程組基解矩陣,并求其通解.解:又由于其通解為二非齊次線性微分方程組1非齊線性微分方程組解的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)32通解結(jié)構(gòu)定理定理7這里C是確定的常數(shù)列向量.證明:由性質(zhì)2知,即這里C是確定的常數(shù)列向量.3常數(shù)變易公式則(5.15)的通解為其中C是任意的常數(shù)列向量,下面尋求(5.14)形如的解,把(5.24)代入(5.14),得(1)一階線性微分方程組的常數(shù)變易公式從而反之,可驗證(5.26)是方程組(5.14)滿足
5、初始條件的特解.因此,(5.24)變?yōu)槎ɡ?(1)向量函數(shù)是(5.14)的解,且滿足初始條件(2)方程組(5.14)的通解為注1:注2:公式(5.26)或(5.27)稱為(5.14)的常數(shù)變易公式.例5求方程組的通解.解:由例4知是對應(yīng)齊次方程的基解矩陣,由(5.26)得方程的特解為所以,原方程的通解為例6試求初值問題的解.解:由例3知是對應(yīng)齊次方程的基解矩陣,故方程滿足初始條件的解是(2)n階線性微分方程的常數(shù)變易公式則(5.7)對應(yīng)齊次方程的基本解組為從而其基解矩陣為推論3的基本解組,那么非齊線性方程的滿足初始條件解為公式(5
6、.29))稱為(5.28)的常數(shù)變易公式.方程(5.28)的通解可表為但是而通解是例7試求方程的一個解.解:易知對應(yīng)齊線性方程的基本解組為由(5.31)求方程的一個解,這時故所以也是原方程的一個解.作業(yè)P2011,2,4,6P2027,8,9(c),10
