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《常微分方程13微分方程的向量場(chǎng)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、§1.3微分方程的向量場(chǎng)一、向量場(chǎng)設(shè)一階微分方程滿足解的存在唯一性定理的條件。過中任一點(diǎn)有且僅有一個(gè)解，滿足1將這個(gè)方向場(chǎng)稱為由微分方程所確定的向量場(chǎng)。就是該曲線上的點(diǎn)處的切線斜率，曲線上點(diǎn) 的切線斜率就是 。的一條曲線，幾何意義:解就是通過點(diǎn)解曲線在區(qū)域中任意點(diǎn)的切線斜率是 。如果我們?cè)趨^(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都畫上一個(gè)以值為斜率中心在點(diǎn)的線段，我們就得到一個(gè)方向場(chǎng).盡管我們不一定能求出方程的解，但我們知道2向量場(chǎng)中的一條曲線，該曲線所經(jīng)過的每一點(diǎn)都與從幾何上看，方程的一個(gè)解就是位于向量場(chǎng)在這一點(diǎn)的方向相切。方向行進(jìn)的曲線，求方程滿足初始值 的解，的一條
2、曲線。就是求通過點(diǎn)形象的說，解就是始終沿著向量場(chǎng)中的3因?yàn)椋筛鶕?jù)向量場(chǎng)的走向來近似求積分曲線，同時(shí)也可根據(jù)向量場(chǎng)本身的性質(zhì)來研究解的性質(zhì)。在該點(diǎn)的向量相重合。定理1.3L為的積分曲線的充要條件是：曲線在L上任一點(diǎn)，L的切線與所確定的向量場(chǎng)向量場(chǎng)對(duì)于求解微分方程的近似解和研究微分方程的幾何性質(zhì)極為重要，4例1.3.1在區(qū)域內(nèi)畫出方程的向量場(chǎng)和幾條積分曲線。解：可以用計(jì)算各點(diǎn)斜率的方法在網(wǎng)格點(diǎn)上手工畫出向量場(chǎng)的方向可以得到向量場(chǎng)，但手工繪圖誤差較大。我們用Maple軟件包來完成。5Maple指令：DEtools[phaseportrait]#畫向量場(chǎng)及積分曲線([d
3、iff(y(x),x)=-y(x)],y(x),#定義微分方程x=-2..2,#指定x范圍[[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]],#給出3個(gè)初始值dirgrid=[17,17],#定義網(wǎng)格密度arrows=LINE,#定義線段類型axes=NORMAL;#定義坐標(biāo)系類型類型6回車后Maple就在三條積分曲線。的圖形，并給出了過點(diǎn)的網(wǎng)格點(diǎn)上畫出了向量場(chǎng)的7所謂圖解法就是不用求微分方程解的具體表達(dá)式，根據(jù)右端函數(shù)和向量場(chǎng)作出積分曲線的大致圖形。圖解法只是定性的反映積分曲線的一部分主要特征。該方法的思想十分重要。因?yàn)槟軌蛴贸醯确椒ㄇ蠼獾姆匠虡O少
4、，用圖解法來分析積分曲線的性態(tài)對(duì)了解該方程所反映的實(shí)際現(xiàn)象的變化規(guī)律就有很重要的指導(dǎo)意義。二、積分曲線的圖解法8方程所決定的曲線上任意一點(diǎn) 處方程的向量場(chǎng)的方向都相同。稱為微分方程我們把所確定的曲線的等傾線。9例如：微分方程的等傾線為的等傾線為零等傾線稱為極值曲線。10拐點(diǎn)曲線：設(shè)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則一個(gè)點(diǎn)成為的拐點(diǎn)的必要條件是，11例1.3.4討論方程的拐點(diǎn)曲線。解：由方程得,令,得容易驗(yàn)證不是方程的積分曲線，在區(qū)域上，是方程的拐點(diǎn)曲線。上，在區(qū)域平面分為和兩部分，它將1213內(nèi)容小結(jié)微分方程的向量場(chǎng)P281（1）（2），2（1）（2）作業(yè)積分曲線的圖解法14
