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《常微分方程1.3微分方程的向量場.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、§1.3微分方程的向量場一、向量場設(shè)一階微分方程滿足解的存在唯一性定理的條件。過中任一點有且僅有一個解，滿足1將這個方向場稱為由微分方程所確定的向量場。就是該曲線上的點處的切線斜率，曲線上點 的切線斜率就是 。的一條曲線，幾何意義:解就是通過點解曲線在區(qū)域中任意點的切線斜率是 。如果我們在區(qū)域內(nèi)每一點都畫上一個以值為斜率中心在點的線段，我們就得到一個方向場.盡管我們不一定能求出方程的解，但我們知道2向量場中的一條曲線，該曲線所經(jīng)過的每一點都與從幾何上看，方程的一個解就是位于向量場在這一點的方向相切。方向行進(jìn)的曲線，求方程滿足初始
2、值 的解，的一條曲線。就是求通過點形象的說，解就是始終沿著向量場中的3因為，可根據(jù)向量場的走向來近似求積分曲線，同時也可根據(jù)向量場本身的性質(zhì)來研究解的性質(zhì)。在該點的向量相重合。定理1.3L為的積分曲線的充要條件是：曲線在L上任一點，L的切線與所確定的向量場向量場對于求解微分方程的近似解和研究微分方程的幾何性質(zhì)極為重要，4例1.3.1在區(qū)域內(nèi)畫出方程的向量場和幾條積分曲線。解：可以用計算各點斜率的方法在網(wǎng)格點上手工畫出向量場的方向可以得到向量場，但手工繪圖誤差較大。我們用Maple軟件包來完成。5Maple指令：DEtools[phase
3、portrait]#畫向量場及積分曲線([diff(y(x),x)=-y(x)],y(x),#定義微分方程x=-2..2,#指定x范圍[[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]],#給出3個初始值dirgrid=[17,17],#定義網(wǎng)格密度arrows=LINE,#定義線段類型axes=NORMAL;#定義坐標(biāo)系類型類型6回車后Maple就在三條積分曲線。的圖形，并給出了過點的網(wǎng)格點上畫出了向量場的7所謂圖解法就是不用求微分方程解的具體表達(dá)式，根據(jù)右端函數(shù)和向量場作出積分曲線的大致圖形。圖解法只是定性的反映積分曲線的一部
4、分主要特征。該方法的思想十分重要。因為能夠用初等方法求解的方程極少，用圖解法來分析積分曲線的性態(tài)對了解該方程所反映的實際現(xiàn)象的變化規(guī)律就有很重要的指導(dǎo)意義。二、積分曲線的圖解法8方程所決定的曲線上任意一點 處方程的向量場的方向都相同。稱為微分方程我們把所確定的曲線的等傾線。9例如：微分方程的等傾線為的等傾線為零等傾線稱為極值曲線。10拐點曲線：設(shè)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則一個點成為的拐點的必要條件是，11例1.3.4討論方程的拐點曲線。解：由方程得,令,得容易驗證不是方程的積分曲線，在區(qū)域上，是方程的拐點曲線。上，在區(qū)域平面分為和兩部分，它將12
5、13內(nèi)容小結(jié)微分方程的向量場P281（1）（2），2（1）（2）作業(yè)積分曲線的圖解法14
