排隊(duì)系統(tǒng)的化.doc

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1、§6排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化一、排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化問題有兩類最優(yōu)設(shè)計=靜態(tài)問題:系統(tǒng)設(shè)計的最優(yōu)化;(運(yùn)行前)最優(yōu)控制=動態(tài)問題:系統(tǒng)控制的最優(yōu)化;(運(yùn)行中)只討論靜態(tài)問題;一般,顧客滿意,服務(wù)成本高;服務(wù)簡單,顧客等待多.最優(yōu)化的目標(biāo)之一是兼顧兩者,使之合理.方法：數(shù)學(xué)中的極值原理,或經(jīng)濟(jì)中的邊際法.二、M/M/1模型中最優(yōu)服務(wù)率1.M/M/1/￥模型優(yōu)化設(shè)為單位時間服務(wù)成本,為在系統(tǒng)中逗留費(fèi)用,則目標(biāo)函數(shù)取為將代入,得,令,得服務(wù)率應(yīng)訂在().2.M/M/1/K模型優(yōu)化顧客被拒概率為,接受概率,有效進(jìn)入概率,即有效到達(dá)率.設(shè)每服務(wù)一個顧客服務(wù)機(jī)構(gòu)獲G元,則單位時間收入期望值為利

2、潤(注)令,得由此確定出,進(jìn)而確定出使服務(wù)系統(tǒng)最優(yōu)的.一般用數(shù)值計算方法求解,或圖解法.設(shè)為已知.由具體的,找出對應(yīng)的.實(shí)際做法是:令,則上述方程化為clear;clf%%%%%k=1;ezplot('(y^2-1)^2/(y^2-2*y+1)-x',[0,16])axis([01603])holdon;pause;%%%%%k=2ezplot('(y^3-1)^2/(2*y^3-3*y^2+1)-x',[0,16])axis([01603])%%%k=3ezplot('(y^4-1)^2/(3*y^4-4*y^3+1)-x',[0,16])axis([01603]

3、)例1對某服務(wù)臺進(jìn)行實(shí)測,得到如下數(shù)據(jù):系統(tǒng)中的顧客數(shù)(n):0123記錄到的次數(shù)(mn):161975334平均服務(wù)時間為10min,服務(wù)一個顧客的收益2元,服務(wù)機(jī)構(gòu)運(yùn)行單位時間成本為1元,問服務(wù)率為多少時可使單位時間平均收益最大?解這是M/M/1/3模型,G=2,,下面從現(xiàn)在運(yùn)行的數(shù)據(jù)中,估計出顧客的.因?yàn)?所以由(人/h),得(人/h).下面進(jìn)行優(yōu)化分析:作當(dāng)時,與的關(guān)系圖,ezplot('(y^4-1)^2/(3*y^4-4*y^3+1)-x',[0,16])axis([01603])由,由圖得(人/h)但然也可作與的關(guān)系圖,同樣可由值去求出,及.收益分析:

4、當(dāng)(人/h)時,總收益為(元/h)當(dāng)(人/h)時,總收益為(元/h)單位時間內(nèi)平均增加收益1.858-0.485=1.373(元/h).相當(dāng)不錯.例2考慮一個M/M/1/K系統(tǒng),具有(人/h),(人/h),K=2管理者想改進(jìn)服務(wù),方案有二個:方案A是增加一個等待空間,即使K=3;方案B是提高平均服務(wù)率到(人/h).設(shè)每服務(wù)一個顧客的平均收入不變,問哪個方案將獲得更大的收入或利潤?當(dāng)增加到30人/h時,又將得到什么結(jié)果?解:對A:,,K=3,有對B:,,K=2,有(人/h)由利潤公式采用A,將獲得更多利潤.當(dāng)à30,而仍,,則,代入得(人/h),對于,而,,則得(人/

5、h)所以此時,若考慮增加收益,則應(yīng)采用B方案.三、M/M/s模型中最優(yōu)的服務(wù)臺數(shù)c僅討論M/M/s/￥模型且為穩(wěn)態(tài),設(shè)全部費(fèi)用.(###)其中:是每個服務(wù)臺的單位時間的成本;是顧客在系統(tǒng)中逗留單位時間的費(fèi)用,是服務(wù)臺數(shù);是平均隊(duì)長.由于和是給定的,所以是服務(wù)臺數(shù)的函數(shù),可記為.因?yàn)槭钦麛?shù),所以不易求,改用邊際法.(增減1分析法)由,則用(###)代入,得從第一式得從第二式得,故合為:依次試取使上式成立的.例3某檢驗(yàn)中心為各工廠服務(wù),要求作檢驗(yàn)的工廠(顧客)的到來為~泊松流,平均到達(dá)率為48次/天,每次檢驗(yàn)時,因停工要損失6元.服務(wù)時間~負(fù)指數(shù)分布,平均服務(wù)率為25次

6、/天,設(shè)置一個檢驗(yàn)員成本每天4元,其他條件同M/M/s.問,應(yīng)設(shè)多少檢驗(yàn)員,使總費(fèi)用平均值最少?解已知,,令檢驗(yàn)員數(shù),將分別代入和得如下表格檢驗(yàn)員數(shù)s平均顧客數(shù)L(s)L(s)-L(s+1)~L(s-1)-L(s)總費(fèi)用(元/d)12345￥24.492.6452.0631.95221.845~￥0.582~21.8450.111~0.582￥154.9427.87*28.3831.71由于,故.即當(dāng)時,總費(fèi)用z最小,最小值為(元).§7排隊(duì)系統(tǒng)的隨機(jī)模擬分析法當(dāng)?shù)竭_(dá)、服務(wù)分布未知,或難于解析表達(dá)時,可用隨機(jī)模擬方法.例設(shè)一卸貨場,貨車夜間到達(dá),白天卸貨,每天只卸3

7、車,余車次曰再卸.求每天推遲卸貨的平均車數(shù)(車/天).根據(jù)長年統(tǒng)計,得出.到達(dá)車數(shù)012345概率0.050.30.30.10.050.20解由夜到白卸的特點(diǎn),這不是泊松流,服務(wù)時間也不服負(fù)指數(shù)分布(實(shí)際是定長服務(wù)時間).由上表可得平均到達(dá)的車輛2.4輛/天,a=[0123456];p=[0.050.30.30.10.050.20];a*p’=2.4理想中應(yīng)能正常卸貨,推遲卸貨的車輛數(shù)為0?隨機(jī)模擬法的思想:計算每天到達(dá)的車輛,可卸貨的車輛,推遲卸貨的車輛.最后計算一個平均推遲的車輛數(shù).即具體步驟為(1)根據(jù)概率的經(jīng)驗(yàn)表,做100張卡表示概率卡號:0~99,卡號