賦予新內容 用遞推公式.pdf

《賦予新內容 用遞推公式.pdf》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、中學生數(shù)學·2014年2月上·第483期(高中)思河北省正定中學(O5O80O)趙建勛路遞推數(shù)列是數(shù)列一章的難點，若賦予新知根據(jù)(1)和(2)，口一對一切∈N都識內容，則關系更加隱蔽，題目難度更大，現(xiàn)舉與成立．例說明，供讀者參考．一點評歸納時要注意找出項與序號之間的、賦予三角內容法關系，而且求出的這幾項都應具有這種統(tǒng)一的關例I已知數(shù)列{a}滿足a=：：l，n一口一系，這樣才能歸納出一般的表達式．例如a一cos．z+cos(一1)(z≠忌丌，7z≥2)，求通項公式口”．而不能寫成az一2c0ST．想一想，為什么?Slnx解’．‘口1—1，二、轉化為三角n一a一1cosx+

2、COS(n-1)z(≥2)．‘例2在數(shù)列{n)中，口一√2，口+一．．02口1COSX+COSX~／2+口，求通項公式a．=COSX——cosx一2cosx=—sin2x一．解a一2c。s手一2c。s，Slnx口3=口2cosz+COS2X一瓜sin2一—_—一xC0SX+十C0S2zZ_SlnZsin2x·COSZ—一COS2X·sinx一／—一2cosS1nsin(2x+z)sin3x一—一sinxsinx‘猜想一罌．一Sln一2√^／—-zc。0用數(shù)學歸納法證明如下：猜想n一2c。s壽．(1)當===1時，左邊一口一1，右邊一一slnxlIl用數(shù)學歸納法證明這個結

3、論．一1，等式成立．(1)當一1時，左邊一口一，(2)假設當n=k時等式成立，右邊一2c。s一，結論成立．即口^一sinkx寸．1II。C(2)假設當n=k肘，結論正確，于是日+1一日COSX+cos(k+1—1)x即n一2c。s壽．sinkx=_cos+coskSlnX那么sinkx·COSX+cOS忌．z．sinxSlnsin(k+1)SlnZ這就是說當n=k+1時等式也成立．網(wǎng)址：ZXSS．cbpt．cnki．net●11●電子郵箱：zxss@chinajourna1．net．cn中學生數(shù)學·2014年2月上·第483期(高中)由Q點與Q點的坐標，就口J以得到數(shù)列

4、通寸由(1)和(可以斷定n一COS對一切項a與a的關系．思∈N都成立．因為Q(，口2)，P+(．：，n：)，點評由前項的結果猜測結論，是由不路完全歸納法得到的，它是否具有一般性，應當所以an+l一．2，文a用數(shù)學歸納法加以證明．所以例3給定數(shù)列{35")，且一萬1n一·n--a1-(一1a～1／弦——————■=一，求冰z1001一X401的州值但．1一(2-43)z一(?！分析此例從問題的給出形式上看，是一個數(shù)列的遞推關系式，顯然，憑此進行一般性==(—)·(—：1：一·cz2。)的遞推，不容易達到求解目的．但仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)，遞推式與兩角和公式很相似，能否施一(

5、一。行三角轉換呢?答案是肯定的．解設z+l—tan0．¨，因為tanl5。一2一：：(—)。?。一。．。2n-1√3，所以tan0~+1一tan(0,+15。)．故有tan0．+12一tan(+180y)一tan0．，一n()．即z+12=X，(2)證明：由a一1，知a¨一a：，數(shù)列{z}是以12為周期的數(shù)列．因為n≤1所以n≤1又因為(1001—401)÷12—50．，，n?！埽詚l)0】一z40l一0．因為當志≤1時，n+z≤n?！?，三、賦予解幾內容例4如圖1，已知直線l：Y所以∑(n一)=n及曲線C：Y—z，C上的點≤～)Q的橫坐標為a(O

6、點Q(7z≥1)作平行z軸的===(n一)<1．直線，交直線z于P+，再從點點評解析幾何中的數(shù)列遞推關系往往尸作平行于．)，軸的直線，交曲是通過相鄰線段長度、點的坐標變化等形式來線C于點Q+，Q的橫坐標構成圖1聯(lián)系的，揭示這類問題中的遞推關系，要抓住數(shù)列{a)．圖形相鄰位置的變化規(guī)律，以此獲得突破．(1)試求}和a的關系，并求{a}的通四．賦予平面幾何內容項公式；例5如圖2，在直一(2)當n一1，?！?時，證明∑(a一角△ABC內有一系列=01正方形，其面積為S，ak+，)ak+2<壺·S2，S。?，S，?，已知AB—a，且所有正方形圖2分析與解答本例中，根據(jù)題設條件，

7、由Q點的坐標可以得到P點的坐標，再由面積之和等于直角△ABC面積的一半，求BCP+點的坐標可以得到Q+點的坐標，這樣，的長和A的大?。驨]III：=zxss．cbpt．cnki．net·12·?一@??中學生數(shù)學-2014年2月上·第483期(高中)分析與解答解決這一數(shù)列應用I司題需所有正方形面積的和：求出所有正方形的面積的和，從而轉化為所求S—a{+a；+a；+??正方形的邊長．思一(1+tan0)。÷‘[L一(＼再1十tatna0n0，／]設正方形的邊長依次為a，a。，a。，?，A路一0，則有BC=a·tan0，根據(jù)△ADEc／~△