蒙特卡羅方法及其在軍事中的應(yīng)用

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1、南京理工大學(xué)近代數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)作者:魯佳學(xué)號(hào)：0811080105學(xué)院(系):理學(xué)院專業(yè):信息與計(jì)算科學(xué)題目:蒙特卡羅方法及其在軍事中的應(yīng)用指導(dǎo)教師：陳萍蒙特卡羅方法及其在軍事中的應(yīng)用摘要：簡(jiǎn)單介紹了蒙特卡羅方法的基本思想及原理、用蒙特卡羅方法求積分的方法以及其誤差、用蒙特卡羅方法解題的一般思路。然后綜述蒙特卡羅方法在軍事中的應(yīng)用，著重介紹了用蒙特卡羅方法求射擊橢圓面目標(biāo)必需導(dǎo)彈數(shù)，給出了其基本思路、模擬框圖和兩個(gè)算例，并做出了結(jié)果分析。關(guān)鍵字：蒙特卡羅方法基本思想原理優(yōu)點(diǎn)解題思路導(dǎo)彈毀傷面積必需發(fā)射導(dǎo)彈數(shù)橢圓面目標(biāo)一、蒙特卡羅方法概述蒙特卡羅方法又稱統(tǒng)計(jì)模擬

2、法、隨機(jī)抽樣技術(shù)，是一種隨機(jī)模擬方法，以概率和統(tǒng)計(jì)理論方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法，是使用隨機(jī)數(shù)（或更常見的偽隨機(jī)數(shù)）來(lái)解決很多計(jì)算問題的方法。將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系，用電子計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬或抽樣，以獲得問題的近似解。為象征性地表明這一方法的概率統(tǒng)計(jì)特征，故借用賭城蒙特卡羅命名。由于蒙特卡羅方法能夠比較逼真地描述事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過(guò)程，解決一些數(shù)值方法難以解決的問題，因而該方法的應(yīng)用領(lǐng)域日趨廣泛。1、蒙特卡羅方法的基本思想及原理為了說(shuō)明蒙特卡羅方法的基本思想，先看以下兩個(gè)例題。例一：蒲豐氏問題為了求得圓周率值，在十九世紀(jì)后期，有很多人做了這種試

3、驗(yàn)：將長(zhǎng)為2l的一根針任意投到地面上，用針與一組相間距離為2a（l=用概率語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，是隨機(jī)變量g的數(shù)學(xué)期望，即=E[g(r)]現(xiàn)假設(shè)該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了N次射擊，每次射擊的彈著點(diǎn)依次為則N次得分g(),g(),…g()的算

4、術(shù)平均值代表了該運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)。換言之，為積分的估計(jì)值，或近似值。在該例中，用N次試驗(yàn)所得成績(jī)的算術(shù)平均值作為數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值（積分近似值）。1.1基本思想由以上兩個(gè)例子可以看出，（1）當(dāng)所求問題的解是某個(gè)事件的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的期望，或與概率、數(shù)學(xué)期望有關(guān)的量時(shí)，通過(guò)某種試驗(yàn)的方法，得出該事件發(fā)生的頻率，或該隨機(jī)變量若干個(gè)觀察值的算術(shù)平均值，根據(jù)大數(shù)定律得到問題的解；（2）要生成分布函數(shù)為F(x)的隨機(jī)數(shù)，可先生成U(0,1)隨機(jī)數(shù)F，則可得到隨機(jī)數(shù)X=F-1(F)。1.2原理由概率定義知，某事件的概率可以用大量試驗(yàn)中該事件發(fā)生的頻率來(lái)估

5、算，當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，可以認(rèn)為該事件的發(fā)生頻率即為其概率。因此，可以先對(duì)影響其可靠度的隨機(jī)變量進(jìn)行大量的隨機(jī)抽樣，然后把這些抽樣值一組一組地代入功能函數(shù)式，確定結(jié)構(gòu)是否失效，最后從中求得結(jié)構(gòu)的失效概率。蒙特卡羅法正是基于此思路進(jìn)行分析的。設(shè)有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量Xi(i=1，2，3，…，k)，其對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)分別為fx1，fx2，…，fxk，功能函數(shù)式為Z=g(x1，x2，…，xk)。首先根據(jù)各隨機(jī)變量的相應(yīng)分布，產(chǎn)生N組隨機(jī)數(shù)x1，x2，…，xk值，計(jì)算功能函數(shù)值Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L組隨機(jī)數(shù)對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)值

6、Zi≤0，則當(dāng)N→∞時(shí)，根據(jù)伯努利大數(shù)定理及正態(tài)隨機(jī)變量的特性有：結(jié)構(gòu)失效概率，可靠指標(biāo)。從蒙特卡羅方法的思路可看出，該方法回避了結(jié)構(gòu)可靠度分析中的數(shù)學(xué)困難，不管狀態(tài)函數(shù)是否非線性、隨機(jī)變量是否非正態(tài)，只要模擬的次數(shù)足夠多，就可得到一個(gè)比較精確的失效概率和可靠度指標(biāo)。1、蒙特卡羅方法的收斂性與誤差蒙特卡羅方法作為一種計(jì)算方法，其收斂性與誤差是普遍關(guān)心的一個(gè)重要問題。2.1收斂性蒙特卡羅方法是由隨機(jī)變量X的簡(jiǎn)單字樣X1，X2，…，XN的算術(shù)平均值作為所求解的近似值。由大數(shù)定律可知，如X1，X2，…，XN獨(dú)立同分布，且具有有限期望值（E(X)<）,則即這表明，當(dāng)

7、隨機(jī)變量X的字樣數(shù)N充分大時(shí)，其均值以概率1收斂與它的期望值。2.2誤差根據(jù)中心極限定理如果隨機(jī)變量序列X1，X2，…，XN獨(dú)立同分布，且具有有限非零的方差σ2，即則當(dāng)N充分大時(shí)，有如下的近似式它表明，誤差收斂速度的階為以概率1-α成立。通常，蒙特卡羅方法的誤差ε定義為關(guān)于蒙特卡羅方法的誤差需說(shuō)明兩點(diǎn)：第一，蒙特卡羅方法的誤差為概率誤差，這與其他數(shù)值計(jì)算方法是有區(qū)別的。第二，誤差中的均方差σ是未知的，必須使用其估計(jì)值來(lái)代替，在計(jì)算所求量的同時(shí)，可計(jì)算出。2.3減小方差的各種技巧顯然，當(dāng)給定置信度α后，誤差ε由σ和N決定。要減小ε，或者是增大N，或者是減小方差

8、σ2。在σ固定的情況下，要把精度提高一個(gè)數(shù)量級(jí)，試驗(yàn)