蒙特卡羅方法在隨機(jī)數(shù)中的應(yīng)用

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1、第二章隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù)的定義及產(chǎn)生方法偽隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的乘同余方法產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的乘加同余方法產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的其他方法偽隨機(jī)數(shù)序列的均勻性和獨(dú)立性作業(yè)第二章隨機(jī)數(shù)由具有已知分布的總體中抽取簡(jiǎn)單子樣，在蒙特卡羅方法中占有非常重要的地位?？傮w和子樣的關(guān)系，屬于一般和個(gè)別的關(guān)系，或者說(shuō)屬于共性和個(gè)性的關(guān)系。由具有已知分布的總體中產(chǎn)生簡(jiǎn)單子樣，就是由簡(jiǎn)單子樣中若干個(gè)性近似地反映總體的共性。隨機(jī)數(shù)是實(shí)現(xiàn)由已知分布抽樣的基本量，在由已知分布的抽樣過(guò)程中，將隨機(jī)數(shù)作為已知量，用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法可以由它產(chǎn)生具有任意已知分布的簡(jiǎn)單子樣。什么是隨機(jī)數(shù)？單個(gè)的數(shù)字不是隨機(jī)數(shù)是指一個(gè)數(shù)列，其中的每一個(gè)

2、體稱為隨機(jī)數(shù)，其值與數(shù)列中的其它數(shù)無(wú)關(guān)；在一個(gè)均勻分布的隨機(jī)數(shù)中，每一個(gè)體出現(xiàn)的概率是均等的；例如：在[0,1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列中，0.00001與0.5出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等隨機(jī)數(shù)應(yīng)具有的基本特性考慮一個(gè)對(duì)高能粒子反應(yīng)過(guò)程的模擬：需用隨機(jī)數(shù)確定：出射粒子的屬性：能量、方向、…粒子與介質(zhì)的相互作用對(duì)這一過(guò)程的模擬應(yīng)滿足以下要求（相空間產(chǎn)生過(guò)程）：出射粒子的屬性應(yīng)是互不相關(guān)的，即每一粒子的屬性的確定獨(dú)立于其它的粒子的屬性的確定；粒子的屬性的分布應(yīng)滿足物理所要求的理論分布；所模擬的物理過(guò)程要求隨機(jī)數(shù)應(yīng)具有下列特性：隨機(jī)數(shù)序列應(yīng)是獨(dú)立的、互不相關(guān)的(uncorrelated)

3、：即序列中的任一子序列應(yīng)與其它的子序列無(wú)關(guān)；長(zhǎng)的周期(longperiod)：實(shí)際應(yīng)用中，隨機(jī)數(shù)都是用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出來(lái)的，這些算法具有周期性，即當(dāng)序列達(dá)到一定長(zhǎng)度后會(huì)重復(fù)；均勻分布的隨機(jī)數(shù)應(yīng)滿足均勻性(Uniformity)：隨機(jī)數(shù)序列應(yīng)是均勻的、無(wú)偏的，即：如果兩個(gè)子區(qū)間的“面積”相等，則落于這兩個(gè)子區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)影相等。例如：對(duì)[0,1)區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，如果產(chǎn)生了足夠多的隨機(jī)數(shù)，而有一半的隨機(jī)數(shù)落于區(qū)間[0,0.1]?不滿足均勻性如果均勻性不滿足，則會(huì)出現(xiàn)序列中的多組隨機(jī)數(shù)相關(guān)的情況?均勻性與互不相關(guān)的特性是有聯(lián)系的有效性（Efficiency):模擬結(jié)果

4、可靠?模擬產(chǎn)生的樣本容量大?所需的隨機(jī)數(shù)的數(shù)量大?隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生必須快速、有效，最好能夠進(jìn)行并行計(jì)算。隨機(jī)數(shù)的定義及產(chǎn)生方法隨機(jī)數(shù)的定義及性質(zhì)隨機(jī)數(shù)表物理方法隨機(jī)數(shù)的定義及性質(zhì)在連續(xù)型隨機(jī)變量的分布中，最簡(jiǎn)單而且最基本的分布是單位均勻分布。由該分布抽取的簡(jiǎn)單子樣稱，隨機(jī)數(shù)序列，其中每一個(gè)體稱為隨機(jī)數(shù)。單位均勻分布也稱為［0，1］上的均勻分布，其分布密度函數(shù)為：分布函數(shù)為：由于隨機(jī)數(shù)在蒙特卡羅方法中占有極其重要的位置，我們用專門的符號(hào)ξ表示。由隨機(jī)數(shù)序列的定義可知，ξ1，ξ2，…是相互獨(dú)立且具有相同單位均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列。也就是說(shuō)，獨(dú)立性、均勻性是隨機(jī)數(shù)必備的兩個(gè)特點(diǎn)。隨機(jī)

5、數(shù)具有非常重要的性質(zhì)：對(duì)于任意自然數(shù)s，由s個(gè)隨機(jī)數(shù)組成的s維空間上的點(diǎn)（ξn+1，ξn+2，…ξn+s）在s維空間的單位立方體Gs上均勻分布，即對(duì)任意的ai，下等式成立：其中P(·)表示事件·發(fā)生的概率。反之，如果隨機(jī)變量序列ξ1,ξ2…對(duì)于任意自然數(shù)s，由s個(gè)元素所組成的s維空間上的點(diǎn)（ξn+1，…ξn+s）在Gs上均勻分布，則它們是隨機(jī)數(shù)序列。由于隨機(jī)數(shù)在蒙特卡羅方法中所處的特殊地位，它們雖然也屬于由具有已知分布的總體中產(chǎn)生簡(jiǎn)單子樣的問(wèn)題，但就產(chǎn)生方法而言，卻有著本質(zhì)上的差別。隨機(jī)數(shù)表為了產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，可以使用隨機(jī)數(shù)表。隨機(jī)數(shù)表是由0，1，…，9十個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字

6、以0.1的等概率出現(xiàn)，數(shù)字之間相互獨(dú)立。這些數(shù)字序列叫作隨機(jī)數(shù)字序列。如果要得到n位有效數(shù)字的隨機(jī)數(shù)，只需將表中每n個(gè)相鄰的隨機(jī)數(shù)字合并在一起，且在最高位的前邊加上小數(shù)點(diǎn)即可。例如，某隨機(jī)數(shù)表的第一行數(shù)字為7634258910…，要想得到三位有效數(shù)字的隨機(jī)數(shù)依次為0.763，0.425，0.891。因?yàn)殡S機(jī)數(shù)表需在計(jì)算機(jī)中占有很大內(nèi)存，而且也難以滿足蒙特卡羅方法對(duì)隨機(jī)數(shù)需要量非常大的要求，因此，該方法不適于在計(jì)算機(jī)上使用。物理方法用物理方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的基本原理是：利用某些物理現(xiàn)象，在計(jì)算機(jī)上增加些特殊設(shè)備，可以在計(jì)算機(jī)上直接產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。這些特殊設(shè)備稱為隨機(jī)數(shù)發(fā)生器。用來(lái)作

7、為隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的物理源主要有兩種：一種是根據(jù)放射性物質(zhì)的放射性，另一種是利用計(jì)算機(jī)的固有噪聲。一般情況下，任意一個(gè)隨機(jī)數(shù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)總是用二進(jìn)制的數(shù)表示的：其中εi（i=1，2，…，m）或者為0，或者為1。因此，利用物理方法在計(jì)算機(jī)上產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，就是要產(chǎn)生只取0或1的隨機(jī)數(shù)字序列，數(shù)字之間相互獨(dú)立，每個(gè)數(shù)字取0或1的概率均為0.5。用物理方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列無(wú)法重復(fù)實(shí)現(xiàn)，不能進(jìn)行程序復(fù)算，給驗(yàn)證結(jié)果帶來(lái)很大困難。而且，需要增加隨機(jī)數(shù)發(fā)生器和電路聯(lián)系等附加設(shè)備，費(fèi)用昂貴。因此，該方法也不適合在計(jì)算機(jī)上使用。偽隨機(jī)數(shù)偽隨機(jī)數(shù)偽隨機(jī)數(shù)