高階緊致格式.doc

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1、§10.高階緊致差分格式先考慮導數的差分近似。若某一差分近似的精度是階的，則近似的誤差就是。要想進一步提高精度，通常有兩種途徑：減?。?version）或是提高（-version）。但由于計算機資源的限制，不可能無限地減小，因此在需要高精度流場計算的情形（如，粘性邊界層、湍流等），就要考慮采用高階格式。通常情形，構造高階格式需要更多的點。例如：兩點差分近似只有一階精度。而使用三個點，就可以構造出二階近似精度越高，需要的點就更多。對于中心差分近似也有類似的結果。但是這種高階近似用在差分格式中，除了計算公式更加

2、復雜，計算量增加之外，還會造成其他困難。例1：以一個簡單的常微分方程初值問題為例。設。（），取個網格，空間步長，網格點記作（），網格點上的近似解記作。因，導數采用向后差分近似，就有（）實際的計算方案為，（）上述格式用到兩個點，但只有一階精度。如果采用二階差分近似，則成為（）這個格式具有二階精度。可是由于涉及三個點，所以只能從開始計算。而初始條件只提供了。因此的計算就需要補充另外的等式。對于更為復雜的流動控制方程以及更復雜、精度更高的數值格式，這種問題就更加嚴重。現(xiàn)在我們從另外一個角度來考察上述問題。將導數的

3、近似值記作，則差分格式就可寫成我們剛才所做的不過是用不同的差分來代替。因此，我們遇到的困難就是：用高階差分代替，就會涉及更多的點。而我們的問題也就是：有沒有不涉及更多點的高階差分？我們借助算符演算來討論這一問題。例2：由可推出，于是有上式右端取第一項，就得到一階差分近似，即如果取前兩項，就得到二階近似即這些就是前面用到的向后差分近似。但如果繼續(xù)演算，有上式中的系數為零，因此取第一項相當于取了前兩項，也能得到二階精度的近似。即注意到此式中只出現(xiàn)了的一次方，因此只涉及兩個點。上面導出了一個新的差分近似，是用差分

4、算子的有理分式表示的，因此稱為微分算子的有理函數近似（Pade逼近）。而通常的差分近似都是用多項式表示的。例3：由于是有上式右端取第一項，就得到二階精度的中心差分近似，即而取前兩項，就能得到四階精度的中心差分近似即但又有和前一個例子一樣，上式中只取第一項，就能得到四階精度的中心差分近似而且該差分近似只涉及三個點。以上的討論表明，有理函數近似可以達到我們原來的目的，即：有理函數近似具有更高的精度，又不涉及更多的點。下面考慮微分算子有理函數近似在數值格式中的應用。這種有理函數的表達式只是一種算符操作，在實際應用

5、中就需要將有理分式化為整式，過程如下。例4：由有作用在函數上，即將算子展開，就是對中心差分近似也有類似地的結果。例5：由有作用在函數上，即將算子展開，就是以上兩個例子表明，有理函數給出的差分近似，會同時有多個點處的導數值出現(xiàn)，需聯(lián)立求解。而通常的差分近似，只出現(xiàn)一個點處的導數值，可逐點計算。這兩者之間的區(qū)別，類似于隱式格式與顯式格式的區(qū)別。正因為如此，微分算子的有理函數近似也稱為隱式差分近似。同時，由于涉及較少的點，通常又稱為緊致差分近似。例6：將例4中的緊致差分近似應用于例1中給出的初值問題，（）整理后，

6、得到未知解的近似及其導數值近似的聯(lián)立方程組解得（）對于，利用原方程可給出初值，由此可見，在緊致差分格式的求解過程中，未知解的近似及其導數值的近似都是未知量，是需要聯(lián)立在一起求解的。上面的例子是一個兩點緊致格式，最終得到了一個遞推關系式，逐點計算。對于涉及三個甚至更多點的高階緊致格式，就需要將未知解的近似、、、及其導數值的近似、、、（如果原方程還包括二階導數，則還有二階導數值的近似、、、）全部放在一起聯(lián)立求解。因此，高階緊致格式中需要求解的未知量比較多，這是它的一個弱點。下面列出一階導數和二階導數高階緊致差分

7、近似的一些結果。1.Pade逼近（三點四階）2.對稱緊致格式（五點六階）3.對稱緊致格式（五點八階）4.迎風緊致格式（三點三階）5.迎風緊致格式（五點五階）6.廣義緊致格式（對稱三點六階）上面給出的緊致差分近似，計算一階導數的緊致差分里不會出現(xiàn)二階導數的近似值，計算二階導數的緊致差分里也不會出現(xiàn)一階導數的近似值。如果突破這個限制，就成為廣義緊致差分近似。例如1.廣義緊致格式（迎風兩點三階）最后給出一個實例。例7：考慮Burgers方程（對流擴散方程）兩點邊值問題將空間區(qū)域均勻劃分成個網格，則空間網格的尺寸為

8、，網格點坐標為（）。在時刻（，是時間步長），將未知函數及其空間導數在網格點上的近似值分別記作，，現(xiàn)假設上一時刻的近似解已經求出，記成，在計算過程中視為已知。于是，在空間區(qū)域內的第個網格點（）處，有原方程的差分近似和空間導數的Pade逼近在左邊界處，有邊界條件原方程的差分近似以及空間導數的廣義緊致格式在右邊界處，有邊界條件在此處，原方程成為還有空間導數的廣義緊致格式將所有這些集成在一起，就得到線性方程組