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1、第二章導(dǎo)數(shù)與微分一、引例.1.變速直線運動的瞬時速度.設(shè)某物體作變速直線運動，其位移S與時間t的函數(shù)關(guān)系為S=S(t).問：在任一時刻t0的速度應(yīng)當(dāng)怎樣定義？勻速直線運動：第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的定義由時刻t0到時刻t0+?t走過的位移為若當(dāng)?t?0時，平均速度的極限存在.則稱該極限值為該物體在t0時刻的瞬時速度.即變速直線運動：?SS(t0+?t)S(t0)0S考慮時刻t0附近的某時刻t0+?t平均速度：2.曲線的切線斜率設(shè)曲線方程為y=f(x).問:怎樣求曲線上任一點的切線斜率.曲線的切線：對于曲線C上任一點M，考慮其附近一點N.(N可在M的左側(cè)
2、，也可在M的右側(cè)).讓點N沿曲線C趨向點M，若割線MN有極限位置MT.則直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.?Ty=f(x)M?xx0x0+?xxy0N?Cy0+?yy0記點M的坐標(biāo)為(x0,y0);點N的坐標(biāo)為(x0+?x,y0+?y).注意到y(tǒng)0=f(x0),?y=f(x0+?x)?f(x0)則割線MN的斜率,(?為割線MN的傾角).(?為切線MT的傾角).所以當(dāng)N沿曲線C趨向M時，此時,割線MN的斜率無限地接近于切線MT的斜率k.3.非均勻細(xì)桿的線密度.設(shè)有一根質(zhì)量不均勻的細(xì)桿，取坐標(biāo)系如圖，其一端點為坐標(biāo)原點，另一端點為桿長l,對
3、于[0,l]上的任一點x,在[0,x]上的質(zhì)量是x的函數(shù)，記為m=m(x).所以在上的質(zhì)量為稱為細(xì)桿在上的平均線密度.x0xx+?xl當(dāng)若的極限存在，則稱該極限值為細(xì)桿在點x處的線密度.即：二、導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x在x0處有增量?x(點x0+?x?U(x0))時，相應(yīng)的函數(shù)有增量?y=f(x0+?x)?f(x0);如果,?y與?x之比，當(dāng)?x?0時的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo).并稱這個極限值為函數(shù)y=f(x)有點x0處的導(dǎo)數(shù),記為也可記作即(1)定義1.導(dǎo)數(shù)定義式(1
4、)的不同形式：(2)和(3)(記x=x0+?x)注1：若不存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處不可導(dǎo).特別地，若也稱函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)為無窮大.例1.下列各題中,均假定f'(x0)存在,指出A表示什么:(1)解:(2)解:(3)解:注2：若f(x)在(a,b)內(nèi)每一點處都可導(dǎo)，則稱函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).此時，對于?x?(a,b).都對應(yīng)著f(x)的一個確定的導(dǎo)數(shù)值，從而構(gòu)成一個新的函數(shù)，稱為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，即(4)記為三、求導(dǎo)數(shù)舉例例2.求函數(shù)f(x)=C(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解：即=0例3.設(shè)y
5、=xn,n為正整數(shù).求解：所以即：特別：由于?yn=1時，注意：例如(2)當(dāng)x?0時對于冪函數(shù)y=xu.(u為常數(shù)).有(1)當(dāng)x>0時例4.設(shè)y=sinx.求y'解：所以由于?y類似地，對y=cosx,利用可得即例5.解：令則所以由于?y即：特別:解：即：類似地，由可得由于?y所以例6.設(shè)y=lnx,x??0?????求y'求函數(shù)f(x)=
6、x
7、=x,x?0.?x,x<0.在x=0處的導(dǎo)數(shù).解：所以不存在.即f(x)=
8、x
9、在x=0處不可導(dǎo).例7由于注：左導(dǎo)數(shù)：右導(dǎo)數(shù)：如果，函數(shù)f(x)在點x0處存在左(右)導(dǎo)數(shù)，則稱f(x)在點x0處
10、左(右)可導(dǎo).y=f(x)在點x0處可導(dǎo)都存在且相等.在x=a處有右導(dǎo)數(shù)，在x=b處有左導(dǎo)數(shù).函數(shù)f(x)在[a,b]上可導(dǎo):是指f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f?(x0)在幾何上表示曲線y=f(x)在點M(x0,f(x0))處的切線的斜率.即：f??x??=tan??Ty=f(x)MxyCx0注1：法線：過點M(x0,f(x0))且與切線垂直的直線稱為曲線y=f(x)在點M處的法線.注2：(1)當(dāng)f?(x0)存在且不為0時，曲線y=f(x)在點M(x0,f(x0))處切線方程：y－f(x0
11、)=f?(x0).(x–x0)法線方程：(2)當(dāng)f?(x0)＝0時，曲線y=f(x)在點M(x0,f(x0))處：(3)當(dāng)f?(x0)=?.曲線y=f(x)在點M(x0,f(x0))處f(x)連續(xù)：法線方程：x=x0切線方程：y=y0法線方程：y=y0切線方程：x=x0解：顯然點M(2,0)不在曲線上.設(shè)所求切線的切點為N(x0,y0)且切線的斜率k,有所以，所求切線的方程為求過點M(2,0)且與曲線相切的直線方程.例8又點M(2,0)在切線上，所以故從而所求切線方程為即：解：曲線在0(0,0)的切線為x=0(即y軸)法線為y=0(即x軸
12、)0xy求曲線在原點O(0,0)處的切線、法線方程.例9五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系若y=f(x)在x0處可導(dǎo)?y=f(x)在x0處連續(xù).證明：結(jié)論：反之不一定成立.類似可證：設(shè)y=f(x)
