牛頓迭代法求解非線性方程組的解.pdf

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1、數(shù)值計(jì)算實(shí)習(xí)報(bào)告——非線性方程組的牛頓迭代解法姓名：吳健學(xué)號(hào)：139084186班級：數(shù)132非線性方程組的數(shù)值解法摘要本文著重介紹了求解單變量非線性方程fx()?0的牛頓迭代法理論和MATLAB求解過程，其中二分法、不動(dòng)點(diǎn)迭代等也是常用的解非線性方程組的重要工具，本文把牛頓迭代法推廣到非線性方程組，對于方程變量及個(gè)數(shù)相當(dāng)大時(shí)，很難通過運(yùn)算得出結(jié)果，此時(shí)采用MATLAB中的numjac命令很好的避免牛頓迭代法中所遇到的jacobi矩陣難求的問題。關(guān)鍵詞：非線性方程組、牛頓迭代法、MATLAB、jacobi

2、矩陣一、前言非線性方程組在實(shí)際問題中經(jīng)常出現(xiàn)，并且在科學(xué)與工程計(jì)算中的地位越來越來重要，很多常見的線性模型都是在一定條件下由非線性問題簡化得到的，為得到更符合實(shí)際的解答，往往需要直接研究非線性模型，然而從線性到非線性是一個(gè)質(zhì)的飛躍，方程的性質(zhì)的不同，所以求解方法也有很大差別。本文主要介紹關(guān)于非線性方程及方程組的數(shù)值解法，先分析非線性方程的數(shù)值解法，然后再延伸到方程組的解法。本文以如下多元非線性方程組為例，嘗試尋找一種數(shù)值方法求解該方程組。?13x?cos(xx)??0?1232?22?x?81(x?0.1

3、)?sinx?1.06?0123??xx10?ex12?20????103?3二、線性方程與非線性方程線性方程的形式如y??kxb(2-1)而對于這類問題已經(jīng)完全地被解決了，而諸如函數(shù)fx()是多項(xiàng)式函數(shù)，即nn?1fx()?ax?ax??axa?01nn?1(2-2)其中a??0,(ai0,1,,)n為實(shí)數(shù)，當(dāng)fx()?0稱為n次代數(shù)方程。這類方程當(dāng)0in?5時(shí)就不能直接用公式表示方程的根，所以只好選用數(shù)值解代替。還有一類函數(shù)成為超越函數(shù)，如?x/10exsin10?0(2-3)它在整個(gè)x軸上有無窮多個(gè)

4、解，若x的取值范圍不同，解也不同，所以在討論非線性方程的求解問題時(shí)，必須強(qiáng)調(diào)x的定義域，即x的求解區(qū)間[,]ab。超越函數(shù)都可以通過多項(xiàng)式函數(shù)插值得到，故解非線性方程歸結(jié)為求解多項(xiàng)式函數(shù)的解或者是直接求解超越函數(shù)。三、求解非線性方程的其他方法1、二分法考察有根區(qū)間[,]ab，取中點(diǎn)x??(ab)/2將它分成兩半，假設(shè)中點(diǎn)x不是00fx()的零點(diǎn)，然后進(jìn)行根的搜索，即檢查fx()與fa()是否同號(hào)，如果確系同號(hào)，0**則說明所求根x在x的右側(cè)，這時(shí)令a??xb,b;否則x必在x的左側(cè)，這時(shí)01010令a??

5、ab,x.對于壓縮了的有根區(qū)間[,]ab進(jìn)行如上用樣的操作，直到找到方11011程的根。2、不動(dòng)點(diǎn)迭代法將方程fx()?0(3-1)**改寫成等價(jià)的形式xx??(),若要求x滿足fx()?0,則**xx??()(3-2)*反之亦然.稱x為函數(shù)?()x的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).求fx()的零點(diǎn)就等價(jià)于求?()x的不動(dòng)點(diǎn)，選擇一個(gè)初始值x，將它代入xx??()的右端，即可求得xx??()，如此010反復(fù)迭代計(jì)算x???(),xk0,1,(3-3)kk?1這時(shí)的?()x稱為迭代函數(shù).如果對??x[,]ab,有0limxx?

6、*(3-4)kk??成立，則稱迭代方程xx??()收斂,且(3-2)為?()x的不動(dòng)點(diǎn)，故稱為不動(dòng)點(diǎn)迭kk?1代法。其基本思想是將隱式方程xx??()歸結(jié)為一組顯示的計(jì)算公式(3-3)，就是說，迭代過程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)逐步顯示化的過程。3、線性近似法線性近似法中比較突出的有牛頓法、弦截法等，牛頓法的基本思想是將非線性方程fx()?0逐步歸結(jié)為某種線性方程來求解。設(shè)x,x是fx()?0的近似根，我們利用fx(),fx()構(gòu)造一次插值多項(xiàng)式kk?1kk?1px()，并用px()?0的根作為fx()?0的新的近似根

7、x.由于11k?1fx()?fx()kk?1px()?fx()?(x?x)(3-5)1kkxx?kk?1因此有fx()kx?x?()x?x(3-6)k??11kkkfx()?fx()kk?1由下文中的牛頓迭代法會(huì)知道，這里的迭代公式可以看作牛頓公式fx()kxx??(3-7)kk?1'fx()k'fx()kk?fx(?1)中的導(dǎo)數(shù)fx()用差商取代的結(jié)果，這種算法成為弦截法。kxx?kk?14、上述算法的缺點(diǎn)二分法：收斂速度慢，且無法知道是否有重根。不動(dòng)點(diǎn)迭代法：收斂與否或收斂快慢取決于函數(shù)xx??()的

8、性質(zhì)。弦截法：在牛頓法中只需要兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，弦截法需要找三個(gè)節(jié)點(diǎn)，收斂速度慢，要求初始值的選取靠近方程的根，否則也可能會(huì)不可能。四、牛頓法1、牛頓法思想'設(shè)已知方程fx()?0有近似根x（假定fx()?0），將函數(shù)fx()在點(diǎn)x展kkk開，有'fx()?fx()?fx()(xx?)(4-1)kkk于是方程fx()?0可以近似地表示為'fx()?fx()(xx?)0?(4-2)kkk式（4-2）是線性方程，記其根為x，則x的計(jì)算公式