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1、第二章隨機過程的數(shù)字特征從上面的分析可知，對于一個隨機過程X(t)，要研究它的變化規(guī)律，常常需要建立起它的“函數(shù)關系”，也就是建立隨機過程的多維分布。因為隨機過程X(t)的多維分布可以比較全面地描述隨機過程的整個變化規(guī)律的統(tǒng)計特性，但要建立過程的分布函數(shù)一般比較復雜，使用也不便，甚至不可能。怎么辦呢？事實上，在許多實際應用中，當隨機過程的“函數(shù)關系”不好確定時，我們往往可以退而求其次，像引入隨機變量的數(shù)字特征一樣，引入隨機過程的數(shù)字特征。用這些數(shù)字特征我們認為基本上能刻劃隨機過程變化的重要統(tǒng)計規(guī)律
2、，而且用隨機過程的X(t)的數(shù)字特征，又便于運算和實際測量。顯然，對于隨機變量X，它的的數(shù)字特征我們主要介紹了數(shù)學期望、方差、相關函數(shù)來描述隨機過程X(t)的主要統(tǒng)計特性。例2.1設隨機變量X具有概率密度求解：∵∴∴注意：隨機變量的數(shù)字特征計算結果是一個確定的數(shù)。而隨機過程的數(shù)字特征不是數(shù)，是一個關于時間的確定函數(shù)?！?.1隨機過程X(t)的數(shù)學期望對于某個給定時刻t，隨機過程成為一個隨機變量，因此可按通常隨機變量的數(shù)學期望方法來定義隨機過程的數(shù)學期望。定義X(t)的數(shù)學期望式中，是X(t)的一維
3、概率密度函數(shù)。又可稱為X(t)的均值，這個均值函數(shù)可以理解為在某一給定時刻t隨機過程的所有樣本函數(shù)的平均值。如圖2.1所示。圖2.1隨機過程的數(shù)學期望mX(t)顯然由圖2.1可看出，隨機過程X(t)就在附近起伏變化，圖中細線表示樣本函數(shù)，粗線表示均值函數(shù)。如果我們計論的隨機過程是接收機輸出端的一條噪聲電壓，這個就是噪聲電壓在某一瞬時t的統(tǒng)計平均值（又稱集平均值）?！?.2隨機過程的均勻方值與方差對于某一固定的時刻，隨機過程X(t)就成為一個隨機變量，由此可給出隨機過程均方值定義。定義隨機過程X(t
4、)的均方值：式中，的一維概率密度函數(shù)。定義隨機過程的方差（又可稱二階中心矩）：顯然是關于t的函數(shù)，且為非負函數(shù)。定義隨機過程的標準離差：注：隨機過程的標準差是表示了隨機過程在t時刻偏離均值的程度大小，如圖2.2所示。圖2.2§2.3隨機過程的自相關函數(shù)隨機過程的數(shù)學期望、方差描述了隨機過程在各個孤立時刻的重要數(shù)字特征值，但它們不能反映隨機過程的內(nèi)在聯(lián)系，這一點可以通過下圖的兩個隨機過程X(t)、Y(t)來說明。對于這兩個隨機過程，從直觀上講，它們都具有大致相同的數(shù)學期望和方差，但兩個過程的內(nèi)部結構
5、卻有著非常明顯的差別，其中X(t)隨機時間變化緩慢，這個過程在兩個不同的時刻的狀態(tài)之間有著較強的相關性，而過程Y(t)的變化要急劇得多，其不同時刻的狀態(tài)之間的相關性，顯然很弱。怎樣去研究和反映一個隨機過程在不同時刻的內(nèi)在聯(lián)系呢？為此我們引入自相關函數(shù)（簡稱相關函數(shù)）來描述隨機過程在兩個不同時刻狀態(tài)之間的內(nèi)在聯(lián)系。定義隨機過程的自相關函數(shù)：這就是隨機過程X(t)在兩個不同時刻的狀態(tài)之間的混合原點矩，自相關函數(shù)就反映了X(t)在兩個不同時刻的狀態(tài)之間的相關程度。若在定義式中取，則有此時自相關函數(shù)即為均
6、方值。式中，為過程X(t)的二維概率密度函數(shù)。例2.2求隨機相位正弦波過程的均值、方差和自相關函數(shù)，其中的概率密度為解：當取定是一個隨機變量，且該隨機變量X(t)顯然是隨機變量的函數(shù)。由求隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望定理，有又∵當令，例2.3給定隨機過程，式中是常數(shù)，A和B是兩個獨立的正態(tài)隨機變量，而且，試求X(t)的均值和自相關函數(shù)。解∵，且A，B獨立∴當取定t時，X(t)為隨機變量有時為了描述隨機過程在任意兩個不同時刻t1、t2間內(nèi)在聯(lián)系，我們還可以用協(xié)方差函數(shù)中心化自相關函數(shù)來定義。定義協(xié)方差函數(shù)
7、：稱為隨機過程X(t)的協(xié)方差函數(shù)。由定義可知，當取∴此時的協(xié)方差就是方差。注意，實際上自相關函數(shù)所描述的特性是幾乎一致的。性質(zhì)2.1證∵從上式分析可知，隨機過程的協(xié)方差函數(shù)與其自相關函數(shù)只差一個統(tǒng)計平均值，特別當隨機過程的任意時刻數(shù)學期望時，二者完全相同?！?.4兩個隨機過程之間的互相關函數(shù)隨機過程的自相關函數(shù)描述了一個隨機過程本身的內(nèi)在聯(lián)系，而要描述兩個過程在不同時刻之間的相互關系，我們引入了互相關函數(shù)的定義。定義互相關函數(shù)：稱為兩個隨機過程的互相關函數(shù)。式中：為在兩個不同時刻隨機變量、的聯(lián)合
8、概率密度函數(shù)。定義互協(xié)方差函數(shù)：稱為兩個隨機過程的互協(xié)方差函數(shù)。性質(zhì)2.2在上式中，若對任意都有則稱X(t)，Y(t)為正交過程，此時在上式中，若，又稱X(t)，Y(t)互不相關；此時推論：若兩個隨機獨立，則它們必不相關。反之，兩個隨機過程不相關，還不能斷言它們的相互獨立。（除非是正態(tài)過程）。注：自相關函數(shù)、互相關函數(shù)、協(xié)議差函數(shù)其結果是數(shù)，而不再是一個過程。習題二若隨機過程X(t)為X(t)=At，式中A為（0,1）上均勻分布的隨機變量，求給定一隨機過程X(t)和常數(shù)a，試以X(
