《工程電磁場(chǎng)原理》課程講稿(有限元).doc

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1、二維靜態(tài)電磁場(chǎng)的有限元方法(FEM)簡(jiǎn)介靜電場(chǎng)：特定條件才有解析解穩(wěn)恒磁場(chǎng)：特定條件才有解析解，不適合工程應(yīng)用。第一節(jié)加權(quán)余量法(WeightedResidualMethod)-伽遼金法（GalerikinMehtod）一加權(quán)余量法(WeightedResidualMethod)有一邊值問題方程：算符，對(duì)函數(shù)u的運(yùn)算，f是已知函數(shù)，求解u。為了求解u，有一系列線性無關(guān)函數(shù)u1,u2,…ui…，也叫基（序列）函數(shù)。取前m項(xiàng)近似求u-即u的線性組合。（當(dāng)m?￥,）則余量差（誤差）：精確解：R=0;但是，如果在誤差允許范圍內(nèi)，滿足需要即可。滿足強(qiáng)制余量的加權(quán)（w

2、eight）積分為零:Wi叫權(quán)函數(shù)序列，亦線性無關(guān)。二伽遼金法（GalerikinMehtod）--最常用方法若取權(quán)函數(shù)與基函數(shù)相等，這種方法叫做伽遼金方程（GalerikinMehtod）加權(quán)余量方法。第二節(jié)有限元方法的基本思想1．有限元方法的基本思想首先，將一個(gè)閉合場(chǎng)域進(jìn)行有限元剖分，也就是把一個(gè)閉合場(chǎng)域劃分為N個(gè)微小的有限單元（簡(jiǎn)稱有限元或單元），即其次，在每個(gè)單元上構(gòu)造插值函數(shù)逼近真解，將待求函數(shù)用各單元上的表示為在單元上，進(jìn)一步地將用插值函數(shù)和節(jié)點(diǎn)待求函數(shù)值表示為其中，i為單元上節(jié)點(diǎn)序號(hào)，r為單元的總的節(jié)點(diǎn)數(shù)。第三，求各個(gè)單元上的加權(quán)余量方程，并

3、將各個(gè)單元上的加權(quán)余量方程相加獲得代數(shù)方程組（或?qū)⒚總€(gè)單元插值合成的總插值函數(shù)代泛定方程的等價(jià)泛函并求極值獲得代數(shù)方程組）。第四，求解代數(shù)方程組即得場(chǎng)域中的各節(jié)點(diǎn)函數(shù)值，從而完成函數(shù)的數(shù)值求解。進(jìn)一步求解其他相關(guān)問題。下面，對(duì)二維靜態(tài)電磁場(chǎng)的有限元方法進(jìn)行介紹。第三節(jié)單元剖分與插值函數(shù)1．單元剖分在單元剖分過程中，一般應(yīng)該遵守如下幾條規(guī)則：（1）場(chǎng)域是一個(gè)封閉區(qū)域（對(duì)于開區(qū)域問題，需特殊處理）；（2）單元不能跨越邊界或介質(zhì)交界；（3）單元上的點(diǎn)不能落在相鄰單元的邊或面上，只能與相鄰單元的點(diǎn)重合；（4）各個(gè)單元不能共交；（5）全部單元應(yīng)充滿整個(gè)場(chǎng)域。圖1電機(jī)

4、的單元剖分圖。圖1電機(jī)定子與轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)2．單純形單元（1）一維空間設(shè)是一維空間待求的解函數(shù)，和分別為一維問題中場(chǎng)域的邊界點(diǎn)。首先，將場(chǎng)域剖分為如圖2所示的N個(gè)線段形的單元（e=1,2,…,N），即這些線段形單元的長短可以不同，在一維空間中，最簡(jiǎn)單的單元形狀是線段，因此線段又被稱為一維空間中的單純形。在每個(gè)單元上構(gòu)造插值函數(shù)，并用單元兩個(gè)端點(diǎn)和上的節(jié)點(diǎn)函數(shù)插值和來逼近單元上的解，即在上圖2一維場(chǎng)域的單元剖分和線性逼近其次，將所有單元上的近似解合成，構(gòu)成整個(gè)場(chǎng)域的近似解，即在上可以看出，在有限元方法中一個(gè)重要的問題就是插值函數(shù)的選取。通常將插值函數(shù)選為x的函數(shù)，

5、即在上其中稱為單元上節(jié)點(diǎn)i的插值函數(shù)。因此在單元上近似解可以表示為在上顯然，在各單元之間的節(jié)點(diǎn)上應(yīng)該是連續(xù)的。從上式可以推斷出，插值函數(shù)應(yīng)該具有下面的特性，當(dāng)時(shí)，，，時(shí)，，，（2）二維空間設(shè)是二維問題中場(chǎng)域上的解函數(shù)，場(chǎng)域的邊界為。首先，將場(chǎng)域剖分為如圖3所示的N個(gè)三角形的單元（e=1,2,…,N），即圖3二維場(chǎng)域的單元剖分和線性逼近這些單元的形狀可以是多樣的，既可以是三角形也可以是四邊形或其他形狀等。在二維空間中，最簡(jiǎn)單的單元形狀是三角形，因此三角形又被稱為二維空間中的單純形（三維空間的單純形為四面體）。本講義只討論單元為三角形的情況。將三角形單元上的三

6、個(gè)節(jié)點(diǎn)函數(shù)值選為待求變量，則在單元上解函數(shù)可以被三個(gè)節(jié)點(diǎn)函數(shù)插值表示為在上其中i,j,k分別單元上的三個(gè)節(jié)點(diǎn)編號(hào)，稱為三角形單元上節(jié)點(diǎn)i的插值函數(shù)。其次，將各個(gè)單元上的近似解合成在一起，即得場(chǎng)域上的近似解函數(shù)為在上顯然，和在各單元之間的節(jié)點(diǎn)上應(yīng)該是連續(xù)的。如以標(biāo)示三角形單元上節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，由單元上的近似式，推得當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，而在單元分析時(shí)，一個(gè)關(guān)鍵的問題是插值函數(shù)的選取及相應(yīng)的計(jì)算公式。下面，分節(jié)進(jìn)行詳細(xì)討論。3．插值函數(shù)以上討論中引入的插值函數(shù)又常被稱為形狀函數(shù)，即稱為單元上節(jié)點(diǎn)的形狀函數(shù)。由以上討論知，它具有如下性質(zhì)不妨設(shè)，即，為單

7、元上的節(jié)點(diǎn)總數(shù)，則有（歸一化特性）（1）一維空間在一維空間上，一個(gè)線段構(gòu)成一維空間的單純形。設(shè)單元落在區(qū)間，如圖4所示。圖4一維形狀函數(shù)顯然，有寫成矩陣形式有由此，可以求出形狀函數(shù)和。易知顯然，上述行列式就是線段單元的長度，即進(jìn)一步，得顯然，形狀函數(shù)就是與相應(yīng)節(jié)點(diǎn)線段的長度之比。當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，在有限元方法中，常常用到如下形狀函數(shù)的積分運(yùn)算，即為計(jì)算該積分方便，考慮如下問題。由于，且，這就形成了與的線性變換。而可以被線性表示，即。顯然對(duì)于的積分不如對(duì)的積分具有普遍性，因?yàn)楹笳叩姆e分的上下限分別為0和1。其微元變換為當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。因此，有為計(jì)算上式

8、積分，討論如下典型積分所以利用上述公式，得（2）二維空間在二維空間