狀態(tài)空間分析法.doc

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1、第二章狀態(tài)空間分析法2－1狀態(tài)、狀態(tài)變量、狀態(tài)空間、狀態(tài)方程、動態(tài)方程任何一個系統(tǒng)在特定時刻都有一個特定的狀態(tài)，每個狀態(tài)都可以用最小的一組(一個或多個)獨立的狀態(tài)變量來描述。設系統(tǒng)有n個狀態(tài)變量x1，x2，…，xn，它們都是時間t的函數(shù)，控制系統(tǒng)的每一個狀態(tài)都可以在一個由x1，x2，…，xn為軸的n維狀態(tài)空間上的一點來表示，用向量形式表示就是:X=(x1，x2，…，xn)TX稱作系統(tǒng)的狀態(tài)向量。設系統(tǒng)的控制輸入為：u1，u2，...，ur，它們也是時間t的函數(shù)。記：U=(u1，u2，...，ur)T那么表示系統(tǒng)狀態(tài)變量X(t)隨系統(tǒng)輸入U(t)以及時間t變化的規(guī)律的方程就是控

2、制系統(tǒng)的狀態(tài)方程，如式（2－1）所示?！　?－1）其中F=(f1，f2，...，fn)T是一個函數(shù)矢量。設系統(tǒng)的輸出變量為y1，y2，...，ym，則Y=(y1，y2，...，ym)T稱為系統(tǒng)的輸出向量。表示輸出變量Y(t)與系統(tǒng)狀態(tài)變量X(t)、系統(tǒng)輸入U(t)以及時間t的關系的方程就稱作系統(tǒng)的輸出方程，如式2－2所示。　………………………………………………………….(2－2)其中G=(g1，g2，...，gm)T是一個函數(shù)矢量。在現(xiàn)代控制理論中，用系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程來描述系統(tǒng)的動態(tài)行為，狀態(tài)方程和輸出方程合起來稱作系統(tǒng)

3、的狀態(tài)空間表達式或稱動態(tài)方程。根據(jù)函數(shù)向量F和G的不同情況，一般控制系統(tǒng)可以分為如下四種：·線性定常(時不變)系統(tǒng)（LTI-LinearTimeInvariant）；·線性不定常(時變)系統(tǒng)；·非線性定常系統(tǒng)；·非線性時變系統(tǒng)。在本課程中，我們主要考慮線性定常系統(tǒng)(LTI)。這時，系統(tǒng)的動態(tài)方程可以表示如下：　…………….（2－3）………………（2－4）　寫成矢量形式為：　……………………………………………………………………………（2－5）上式中，Anxn稱為系統(tǒng)矩陣，Bnxr稱為輸入(或控制)矩陣。A由系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其參數(shù)決定，體現(xiàn)了系統(tǒng)內(nèi)部的特性，而B則主要體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入

4、的施加情況。Cmxn矩陣稱為輸出矩陣，它表達了輸出變量與狀態(tài)變量之間的關系，Dmxr矩陣稱為直接轉(zhuǎn)移矩陣，表示了控制向量U直接轉(zhuǎn)移到輸出變量Y的轉(zhuǎn)移關系。一般控制系統(tǒng)中，通常情況D=0。將（2-5）式表示的系統(tǒng)動態(tài)方程用方塊圖表示為如圖2-1所示。系統(tǒng)有兩個前向通道和一個狀態(tài)反饋回路組成，其中D通道表示控制輸入U到系統(tǒng)輸出Y的直接轉(zhuǎn)移。圖2－1系統(tǒng)動態(tài)方程的方塊圖結(jié)構(gòu)2－2建立實際物理系統(tǒng)的動態(tài)方程一般控制系統(tǒng)可分為電氣、機械、機電、液壓、熱力等等。要研究它們，一般先要建立其運動的數(shù)學模型（微分方程(組)、傳遞函數(shù)、動態(tài)方程等）。根據(jù)具體系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其研究目的，選擇一定的物理量

5、作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸出變量，并利用各種物理定律，如牛頓定律、基爾霍夫電壓電流定律、能量守恒定律等，即可建立系統(tǒng)的動態(tài)方程模型。[例2-1]機械平移系統(tǒng)如圖2-2為一加速度儀的原理結(jié)構(gòu)圖。它可以指示出其殼體相對于慣性空間（如地球）的加速度。設:xi為殼體相對于慣性空間的位移;x0為質(zhì)量m相對于慣性空間的位移;y=xi-x0為質(zhì)量m相對于殼體的位移.　　根據(jù)牛頓第二定律，這個系統(tǒng)的運動方程為:將x0=xi-y代入,我們就可以得到關于加速度儀以變量y為輸出的微分方程:以質(zhì)量m相對于殼體的位移y作為狀態(tài)變量x1，m相對于殼體的速度為狀態(tài)變量x2，并將質(zhì)量m相對于加速度儀外殼的位移y

6、作為系統(tǒng)輸出，以加速度儀外殼相對于地面的加速度作為系統(tǒng)輸入u，那么有：　寫成矢量形式為：　………………………………………（2－6）這就是圖2-2所示加速度儀的動態(tài)方程。當加速度為常數(shù)，且系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀況時，有：所以我們可以通過y的讀數(shù)，確定運動物體的加速度值?！纠?-2】RLC電路如圖2-3所示.以ei作為系統(tǒng)的控制輸入u(t)，eo作為系統(tǒng)輸出y(t)。建立系統(tǒng)的動態(tài)方程。該R-L-C電路有兩個獨立的儲能元件L和C，我們可以取電容C兩端電壓和流過電感L的電流i作為系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量，分別記作x1和x2。根據(jù)基爾霍夫電壓定律和R、L、C元件的電壓電流關系，可得到下列方程：整理

7、得：寫成矢量形式為：　…………………………………………………………（2－7）這就是如圖2-3所示RLC電網(wǎng)絡的動態(tài)方程。　【例2-3】電樞控制式電機控制系統(tǒng)如圖2-4所示.其中R、L和i(t)分別為電樞回路的內(nèi)阻、內(nèi)感和電流，u(t)為電樞回路的控制電壓，Kt為電動機的力矩系數(shù)，Kb為電動機的反電動勢系數(shù)?！「鶕?jù)電機原理，電機轉(zhuǎn)動時，將產(chǎn)生反電勢eb，其大小為：eb=Kb*ω在磁場強度不變的情況下，電動機產(chǎn)生的力矩T與電樞回路的電流成正比，即：T=Kt*i(t)根據(jù)基爾霍夫電壓定律，電樞回路有下列關系：