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1、江山如此多嬌高一數(shù)學(xué)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示王金輝老河口市江山中學(xué)1.已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角為θ，則a·b＝abcos.a·b稱(chēng)為向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）.θ2.數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度a與b在a的方向上的投影bcos的乘積.θ6.a·b≤ab.3.a⊥ba·b＝0.4.a·a＝a2＝a2.a·bab5.cos＝.θ復(fù)習(xí)題1已知：a＝4，b＝5，a·b＝10，求：a與b的夾角θ.θ＝60°.解：設(shè)a與b的夾角為θ，則cos＝＝,a·bab12θ復(fù)習(xí)題2已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，求證：?ABC是直角三角形.分析：先畫(huà)圖，ABCOxy從圖中可知，∠A應(yīng)為
2、90°，為證明∠A＝90°，只需證明AB·AC＝0.復(fù)習(xí)題2已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，求證：?ABC是直角三角形.ABCOxy由AB·AC＝ABACcosA可知，為了證明AB·AC=0,需先得出cosA=0，需先證明∠A為90°，而這正是最終要證明的結(jié)論.5.7平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示在坐標(biāo)平面xoy內(nèi)，已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.a·b＝x1x2＋y1y2證明：設(shè)x軸、y軸方向的單位向量分別是i、j，則a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i·i＋x1y2
3、i·j＋y1x2j·i＋y1y2j·j＝x1x2＋y1y2.已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，求證：?ABC是直角三角形.∴AB⊥AC.證明：AB＝(3–2，2–1)＝(1，1),AC＝(–1–2，4–1)＝(–3，3),∵AB·AC＝1×(–3)＋1×3＝0,∴?ABC是直角三角形.由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,可得(1)若A、B坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則
4、AB
5、＝√(x1－x2)2＋(y1－y2)2(2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥bx1x2＋y1y2＝0(a∥b(b≠0)x1y2－x2y1＝0)A(x1，y1)OxyB(x2，y2)(
6、
7、AB
8、2＝AB·AB=(x1－x2)2＋(y1－y2)2)例1已知a＝(1，√3)，b＝(–2，2√3),（1）求a·b；（2）求a與b的夾角θ.解：（1）a·b＝1×(–2)＋√3×2√3＝4;b＝√(–2)2＋(2√3)2＝4,（2）a＝√12＋(√3)2＝2,cos＝＝＝,42×4a·bab12θ∴＝60o.θ例2：已知a＝(5,0)，b＝(–3.2,2.4),求證：(a＋b)⊥b.證明：∵(a＋b)·b＝a·b＋b2＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42＝0，∴(a＋b)⊥b.例3：已知：A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2，0)、(4，2)、(0，4)，直線(xiàn)l過(guò)A、B兩
9、點(diǎn)，求點(diǎn)C到l的距離.HOABCxyl分析一：如圖，為求CH長(zhǎng)，由CH＝AH－AC可知，關(guān)鍵在于求出AH.由AC·AB的幾何意義，AC·AB等于AB的長(zhǎng)度與AC在AB方向上的投影的乘積.所以AC·AB＝AH·AB.AC＝(0–2，4–0)＝(–2，4)，AB＝(4–2，2–0)＝(2，2),AC·AB＝–2×2＋4×2＝4.解：HOABCxyl∵AH與AB共線(xiàn)，∴可設(shè)AH＝mAB＝(2m，2m).AH·AB＝4m＋4m＝8m.由AC·AB=AH·AB，得m＝.12CH=AH－AC＝(3，–3)，CH＝√32＋(–3)2＝3√2.即C點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為3√2.∴AH＝(2m，2m)=(1，1
10、).為定H點(diǎn)坐標(biāo)(兩個(gè)未知數(shù))，可利用H點(diǎn)在l上，及CH⊥AB這兩個(gè)條件.分析二：HOABCxyl若能確定H點(diǎn)坐標(biāo)，CH長(zhǎng)就易求了.練習(xí)：1.向量a、b夾角為θ,（1）a＝(3，－2)，b＝(1，1)，則a·b＝_________，cosθ＝______.1（2）a＝(－1，2)，b＝(2，－4)，則a·b＝_______，θ＝__________－10180o2.已知?ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(，)，B(－2，3)，C(0，1)，求證：?ABC是直角三角形.1343
11、a
12、＝√13,
13、b
14、＝√2√2626小結(jié)：（1）掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和；（
15、2）要學(xué)會(huì)運(yùn)用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決有關(guān)長(zhǎng)度、角度及垂直問(wèn)題.課外作業(yè):P132T1;T2.再見(jiàn)
