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《同濟(jì)六版高數(shù)課件(青島大學(xué))1.1映射與函數(shù).ppt》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、一、集合1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集第一章函數(shù)、極限與連續(xù)第一節(jié)函數(shù)記為：集合分類：集合表示：例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.子集：2.區(qū)間:開區(qū)間閉區(qū)間半開區(qū)間（有限區(qū)間）（無限區(qū)間）3.鄰域:。二、映射、函數(shù)1.映射定義：設(shè)X、Y是兩個(gè)非空集合，若存在使對X中每個(gè)元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，一個(gè)法則f，則稱f為從X到Y(jié)的映射，其中y稱為元素x（在映射f下）的像，記為f(x)集合X稱為映射f的定義域，集合X中所有元素的
2、像所組成的集合稱為映射f的值域，記作f：X→Y例1設(shè)例2設(shè)xyo定義：設(shè)f是從X到Y(jié)的映射，則稱f為滿射，若對X中任意兩個(gè)不同的元素則稱f為單射。若f既為單射又為滿射，則稱f為單一一映射（雙射）。定義設(shè)數(shù)集則稱映射記作y=f(x)，為定義在D上的函數(shù)，按對應(yīng)法則f，總有確定的值y與之對應(yīng)，這個(gè)值y稱為函數(shù)f在x處的函數(shù)值，記作f(x).注意：函數(shù)f是指自變量x與因變量y之間的對應(yīng)關(guān)系。函數(shù)值f(x)是x在對應(yīng)關(guān)系f作用下的值。習(xí)慣上常用記號：來表示定義在D上的函數(shù)。應(yīng)理解為由它確定的的函數(shù)f。2.函數(shù)定義域與對應(yīng)法則.函數(shù)與表示自變量
3、的字母無關(guān)函數(shù)的兩要素:定義:例5指出下列函數(shù)是否相同，為什么？不同相同x1-1yo(1)符號函數(shù)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo(2)取整函數(shù)階梯曲線y=[x][x]表示不超過x的最大整數(shù)有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).例如3、函數(shù)的幾種特性（1）函數(shù)的有界性:設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，定義：則稱函數(shù)f(x)在X上有界，否則稱無界。則稱函數(shù)f(x)在X上有上界。則稱函數(shù)f(x)在X上有下界。函數(shù)f(x)在
4、X上有界的充要是：f(x)在X上既有上界又有下界.證必要性（顯然）充分性因?yàn)閒(x)在X上既有上界又有下界.取M=max{
5、A
6、,
7、B
8、}則必有所以函數(shù)f(x)在X上有界。例6證明有界證有界（2）函數(shù)的單調(diào)性:xyo（或減少）xyo則稱y=f(x)在區(qū)間I上是嚴(yán)格單調(diào)增加的.（3）函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x（或奇函數(shù)）yxox-x奇函數(shù)例7證明兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)證設(shè)f(x)、g(x)都是奇函數(shù)記h(x)=f(x)g(x)故h(x)是偶函數(shù)兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)證明定義在R上的任意函數(shù)，
9、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和。都可以表示為證奇函數(shù)偶函數(shù)（4）函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)正數(shù)l則稱f(x)為周期函數(shù)，l稱為f(x)的周期。4、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)（1）反函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)若對存在唯一的使y=f(x)成立，則在f(X)中定義了一個(gè)函數(shù)稱為y=f(x)的反函數(shù)，例8求的反函數(shù)解反函數(shù)定理1設(shè)函數(shù)y=f(x)在X上嚴(yán)格單調(diào)增(減),則設(shè)y=f(x)必存在反函數(shù)且它在f(X)上也是嚴(yán)格單調(diào)增(減).證使y=f(x)因?yàn)閥=f(x)在X上嚴(yán)格單調(diào)增矛盾
10、使y=f(x)故反函數(shù)存在因?yàn)閥=f(x)在X上嚴(yán)格單調(diào)增矛盾嚴(yán)格單調(diào)增（2）復(fù)合函數(shù)定義:,函數(shù)u=g(x)設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈，則稱函數(shù)y=f(g(x))為由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)若存在定義域(-1,1)例9解綜上所述三、初等函數(shù)（1）冪函數(shù)（2）指數(shù)函數(shù)（3）對數(shù)函數(shù)（4）三角函數(shù)（5）反三角函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).由常數(shù)和基本初等函數(shù),經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次函數(shù)的復(fù)合,的函數(shù),稱為初等函數(shù).所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)
11、奇函數(shù).偶函數(shù).（1）雙曲函數(shù)奇函數(shù),有界函數(shù),雙曲函數(shù)常用公式（2）反雙曲函數(shù)奇函數(shù),奇函數(shù),
