高數(shù)§1.1 映射與函數(shù).ppt

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1、§1.1映射與函數(shù)上頁下頁結束返回首頁1.集合集合集合是指具有某種特定性質的事物的總體.集合可用大寫的字母A,B,C,D等標識.元素組成集合的事物稱為集合的元素.集合的元素可用小寫的字母a,b,c,d等標識.a是集合M的元素記為a?M,讀作a屬于M.a不是集合M的元素記為a?M,讀作a不屬于M.一、集合下頁集合的表示1.列舉法把集合的全體元素一一列舉出來.例如A?{a,b,c,d,e,f,g}.2.描述法若集合M是由元素具有某種性質P的元素x的全體所組成,則M可表示為M?{x

2、x具有性質P}.例如M?{(x,y)

3、x,y為實數(shù),x2?y2?1}.下頁思考：集合悖論

4、“我給不給自己理發(fā)的人理發(fā)”——羅素悖論幾個數(shù)集所有自然數(shù)構成的集合記為N,稱為自然數(shù)集.所有整數(shù)構成的集合記為Z,稱為整數(shù)集.所有有理數(shù)構成的集合記為Q,稱為有理集.所有實數(shù)構成的集合記為R,稱為實數(shù)集.子集如果集合A的元素都是集合B的元素,則稱A是B的子集,記為A?B(讀作A包含于B).A?B?若x?A,則x?B.顯然,N?Z,Z?Q,Q?R.下頁2.集合的運算設A、B是兩個集合,則A?B?{x

5、x?A或x?B}稱為A與B的并集(簡稱并).A?B?{x

6、x?A且x?B}稱為A與B的交集(簡稱交).AB?{x

7、x?A且x?B}稱為A與B的差集(簡稱差).AC?

8、IA?{x

9、x?A}為稱A的余集或補集,其中I為全集.提示:如果研究某個問題限定在一個大的集合I中進行,所研究的其他集合A都是I的子集.則稱集合I為全集或基本集.下頁集合運算的法則設A、B、C為任意三個集合,則有(1)交換律A?B?B?A,A?B?B?A;(2)結合律(A?B)?C?A?(B?C),(A?B)?C?A?(B?C);(3)分配律(A?B)?C?(A?C)?(B?C),(A?B)?C?(A?C)?(B?C);(4)對偶律(A?B)C?AC?BC,(A?B)C?AC?BC.(A?B)C?AC?BC的證明集合運算的法則設A、B、C為任意三個集合,則有(4

10、)對偶律(A?B)C?AC?BC,(A?B)C?AC?BC.證明：下頁所以(A?B)C?AC?BC.?x?AC?BC,?x?AC且x?BC?x?A?B?x?A且x?Bx?(A?B)C直積(笛卡兒積)設A、B是任意兩個集合,則有序對集合A?B?{(x,y)

11、x?A且y?B}稱為集合A與集合B的直積.例如,R?R?{(x,y)

12、x?R且y?R}即為xOy面上全體點的集合,R?R常記作R2.注意：證明集合相等要用元素法！數(shù)集{x

13、a

14、a

15、a?x?b}——閉區(qū)間.[a,b)={x

16、a?x<

17、b}——半開區(qū)間,(a,b]={x

18、a

19、x?b},(-?,+?)={x

20、

21、x

22、<+?}.[a,+?)={x

23、a?x},無限區(qū)間(-?,b)={x

24、x

25、a

26、0<

27、x-a

28、0,則稱U(a,?)=(a-?,a+?)={x

29、

30、x-a

31、

32、為鄰域的半徑.二、映射1.映射的概念某校學生的集合學號的集合按一定規(guī)則查號某班學生的集合某教室座位的集合按一定規(guī)則入座引例1.引例2.引例3.(點集)(點集)向y軸投影定義4.設X,Y是兩個非空集合,若存在一個對應規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對應,則稱f為從X到Y的映射,記作元素y稱為元素x在映射f下的像,記作元素x稱為元素y在映射f下的原像.集合X稱為映射f的定義域;Y的子集稱為f的值域.注意:1)映射的三要素—定義域,對應規(guī)則,值域.2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.對映射若,則稱f為滿射;若有則稱f為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f為雙射或一

33、一映射.例1.海倫公式例2.如圖所示,對應陰影部分的面積則在數(shù)集自身之間定義了一種映射(滿射)例3.如圖所示,則有(滿射)(滿射)X(數(shù)集或點集)說明:在不同數(shù)學分支中有不同的慣用X(≠?)Y(數(shù)集)f稱為X上的泛函X(≠?)Xf稱為X上的變換Rf稱為定義在X上的為函數(shù)映射又稱為算子.名稱.例如,2.逆映射與復合映射(1)逆映射的定義定義:若映射為單射,則存在一新映射使習慣上,的逆映射記成例如,映射其逆映射為其中稱此映射為f的逆映射.(2)復合映射手電筒D引例.復合映射定義.則當由上述映射鏈可定義由D到Y的復設有映射鏈記作合映射,時,或注意:構成復合映射的條件不可

34、少.以上定