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1、第五節(jié)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)兩類(lèi)問(wèn)題:在收斂域內(nèi)求和和函數(shù)展開(kāi)本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),則在該鄰域內(nèi)有:此式稱(chēng)為f(x)的n階泰勒公式,其中(?在x與x0之間)稱(chēng)為拉格朗日余項(xiàng).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),則稱(chēng)為f(x)的泰勒級(jí)數(shù).當(dāng)x=x0時(shí),上述級(jí)數(shù)收斂于當(dāng)時(shí)，待解決的問(wèn)題:1)該此級(jí)數(shù)是否收斂,它的收斂域是什么？2)在收斂域上,和函數(shù)是否為f(x)?定理1.
2、設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)滿(mǎn)足:證明略f(x)的n階泰勒公式:0f(x)的泰勒級(jí)數(shù).f(x)的泰勒級(jí)數(shù).0當(dāng)x?0時(shí)，0稱(chēng)為f(x)在點(diǎn)x0?0的麥克勞林級(jí)數(shù).問(wèn)題：1.f(x)如果能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù),an是什么?2.展開(kāi)式是否唯一?定理2.若f(x)能展成x的冪級(jí)數(shù):f(x)=則這種展開(kāi)式是唯一的,且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.證:設(shè)f(x)所展成的冪級(jí)數(shù)為則當(dāng)x=0時(shí)，顯然結(jié)論成立.二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)直接展開(kāi)法
3、—利用泰勒公式展開(kāi)方法間接展開(kāi)法—利用已知其級(jí)數(shù)展開(kāi)式的函數(shù)展開(kāi)1.直接展開(kāi)法第一步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0處的值;第二步寫(xiě)出麥克勞林級(jí)數(shù),并求出其收斂半徑R;第三步判別在收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)是否為0.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.將函數(shù)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù).解:故得級(jí)數(shù)其收斂半徑為對(duì)任何有限數(shù)x,其余項(xiàng)滿(mǎn)足(?在0與x之間)例1.將函數(shù)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù).解:故例2.將展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù).解:0sin=1=0=-1=01,0,-1,0,……得級(jí)數(shù):其收斂半徑為例2.將展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù).解:得級(jí)數(shù):其收斂半徑
4、為對(duì)任何有限數(shù)x,其余項(xiàng)滿(mǎn)足<1sin(?在0與x之間)類(lèi)似可推出:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.間接展開(kāi)法利用一些已知的函數(shù)展開(kāi)式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),將所給函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù).例3.將函數(shù)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù).解:因?yàn)榘褁換成,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.將函數(shù)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù).解:從0到x積分,得上式右端的冪級(jí)數(shù)在x＝1收斂,定義且連續(xù),所以展開(kāi)式對(duì)x＝1也是成立的,于是收斂區(qū)間為利用此題可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.將展成的冪級(jí)數(shù).解:例7.將展成x－1的冪級(jí)數(shù).解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、函數(shù)
5、的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式在近似計(jì)算中的應(yīng)用1.近似計(jì)算?A?a?a???a??,12n?A?a?a???a,12n誤差r?a?a??.nn?1n?2兩類(lèi)問(wèn)題:1.給定項(xiàng)數(shù),求近似值并估計(jì)精度;2.給出精度,確定項(xiàng)數(shù).關(guān)健:通過(guò)估計(jì)余項(xiàng),確定精度或項(xiàng)數(shù).常用方法:1.若余項(xiàng)是交錯(cuò)級(jí)數(shù),則可用余和的首項(xiàng)來(lái)解決;2.若不是交錯(cuò)級(jí)數(shù),則放大余和中的各項(xiàng),使之成為等比級(jí)數(shù)或其它易求和的級(jí)數(shù),從而求出其和.例1x121n解?e?1?x?x???x??,2!n!11令x?1,得e?1?1????,2!n!內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)
6、展開(kāi)法(1)直接展開(kāi)法—利用泰勒公式;(2)間接展開(kāi)法—利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開(kāi)式的函數(shù).2.常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束當(dāng)m=–1時(shí)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.函數(shù)處“有泰勒級(jí)數(shù)”與“能展成泰勒級(jí)數(shù)”有何不同?提示:后者必需證明前者無(wú)此要求.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)2.如何求的冪級(jí)數(shù)?提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束
