正交化及正交矩陣課件.ppt

《正交化及正交矩陣課件.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。

1、Schmidt正交化及正交方陣.向量的內積及其性質向量內積的定義設是兩個n維向量令稱是向量X和向量Y的內積。2.內積的性質(1)=(3)=+(2)=?3.向量的范數稱為向量X的長度(范數),記為

2、

3、X

4、

5、稱

6、

7、X–Y

8、

9、為X與Y之間的距離.證明：令f(t)=，顯然函數f(t)?0且f(t)=+=+t+t+t2=

10、

11、X

12、

13、2+2t+

14、t2

15、

16、Y

17、

18、2從而有：即證畢稱為向量X與之間的夾角.即,特別4.范數的性質(5)

19、

20、X

21、

22、?0,且

23、

24、X

25、

26、=0?X=0證明:由再由得到:即:證畢例1.設X,Y,Z皆是n維向量,試證明三角不等式:證明:例2.設X,Y是兩個相互正交的n維向量,試證明勾股定理:證明:定理1.非零的正交向量組必然是線性無關的。證明：設?1,?2,…,?m是一組兩兩相互正交的非零向量.?1,?2,…,?m是一組數，?1?1+?2?2+…+?m?m=0使得則0==?j又

27、

28、?j

29、

30、2>0,

31、所以?j=0,j=1,2,…,m從而?1,?2,…,?m線性無關證畢二.向量空間的標準正交基標準正交基的定義及其性質定義:設V是一個向量空間，?1,?2,…,?m是V的一組基，若滿足：1）?1,?2,…,?m兩兩相互正交2）

32、

33、?j

34、

35、=1,j=1,2,…,m則稱?1,?2,…,?m是向量空間V的一組標準正交基.定理2若?1,?2,…,?m是向量空間V的一組標準正交基，?=?1?1+?2?2+…+?m?m是V中的一個向量，則?j=,j=1,2,…,m證明：2.Schmidt正交化過程定理3若V是Rn的一個非零

36、子空間，則V一定有標準正交基.證明：設?1,?2,…,?m是V的一組基。取取取設?1,?2,…,?s,s

37、1,1)T正交化。解:令?1=?1,例４解把基礎解系正交化，即合所求．亦即取3.向量在向量空間上的正交投影定義:設V是Rn的一個非平凡的子空間,??Rn，若在V中存在某向量?，使得?-?與V中任何一個向量皆正交，則稱?為向量?在向量空間V中的正交投影向量。定理4.設V是Rn的一個非平凡的子空間,??Rn,則?在向量空間V中的正交投影向量存在且唯一.證明：設?1,?2,…,?m是向量空間V的一組標準正交基.取則=-=-=0，說明向量?-?與V的標準正交基?1,

38、?2,…,?m中的任何一個向量皆正交，從而與V中的任何一個向量皆正交。故?是向量?在向量空間V中的正交投影向量。若?也是向量?在向量空間V中的正交投影向量，由于:=+=0，j=1,2,…,m，以及??V，V的維數等于m，推知?=?即,?在向量空間V中的正交投影是唯一的。定理5設V是Rn的一個非平凡的子空間，??Rn，?是?在向量空間V中的正交投影向量，則對于V中的任何一個向量?，只要???，就有：

39、

40、?-?

41、

42、<

43、

44、?-?

45、

46、證明：設?是?在向量空間V中的正交投影向量，則對

47、于V中的任何一個向量?，只要???，就有：

48、

49、?-?

50、

51、2=

52、

53、(?-?)+(?-?)

54、

55、2=

56、

57、?-?

58、

59、2+

60、

61、?-?

62、

63、2>

64、

65、?-?

66、

67、2.即：

68、

69、?-?

70、

71、<

72、

73、?-?

74、

75、證畢三.正交方陣及其性質定義：設A是一個n階方陣，若ATA=En則稱A為一個n階正交矩陣。1.A是一個正交矩陣的充分必要條件是它的轉置矩陣是一個正交矩陣。2.A是一個正交矩陣的充分必要條件是它的n個列向量構成了Rn的一個標準正交基.3.若A是一個正交矩陣，則

76、A

77、2=1定義:若A是一個正交矩陣，則稱線性變換Y=AX為正交變換。正交變換有如下性

78、質：設Y1=AX1,Y2=AX21.=2.

79、

80、Y1

81、

82、=

83、

84、X1

85、

86、3.Y1與Y2之間的夾角等于X1與X2之間的夾角小結n維向量之間的內積;n維向量的范數;兩個n維向量之間的距離;夾角.Schimidt正交化過程向量在向量空間上的正交投影及其性質正交矩陣、正交變換