標(biāo)準(zhǔn)正交基與正交矩陣ppt課件.ppt

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1、4.5標(biāo)準(zhǔn)正交基與正交矩陣黃鳳英信息科學(xué)與計(jì)算學(xué)院內(nèi)積的定義主要內(nèi)容內(nèi)積的性質(zhì)向量的長(zhǎng)度和夾角正交向量組的性質(zhì)正交基與規(guī)范正交基正交矩陣正交變換定義1設(shè)有n維向量令[x,y]=x1y1+x2y2+···+xnyn,[x,y]稱(chēng)為向量x與y的內(nèi)積.一、內(nèi)積的定義內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)陣記號(hào)表示.x與y都是列向量，有[x,y]=xTy=yTx.這種運(yùn)算也可用矩例如：（1）[x,y]=[y,x];（2）[?x,y]=?[x,y];（3）[x+y,z]=[x,z]+[y,z];（4）[x,x]≥0,且

2、當(dāng)x?0時(shí)有[x,x]>0.下列性質(zhì)：二、內(nèi)積的性質(zhì)設(shè)x,y,z為n維向量，?為實(shí)數(shù)，則內(nèi)積有在解析幾何中，我們?cè)M(jìn)向量的數(shù)量積度和夾角.廣.并且反過(guò)來(lái)，利用內(nèi)積來(lái)定義n維向量的長(zhǎng)念，因此只能按數(shù)量積的直角坐標(biāo)計(jì)算公式來(lái)推維向量沒(méi)有3維向量那樣直觀(guān)的長(zhǎng)度和夾角的概所以n維向量的內(nèi)積是數(shù)量積的一種推廣.但n(x1,x2,x3)·(y1,y2,y3)=x1y1+x2y2+x3y3.且在直角坐標(biāo)系中，有x·y=

3、x

4、

5、y

6、cos?,三、向量的長(zhǎng)度和夾角1.長(zhǎng)度的定義定義2令

7、

8、x

9、

10、稱(chēng)為n維向量x的長(zhǎng)度(或模).當(dāng)

11、

12、

13、x

14、

15、=1時(shí),稱(chēng)x為單位向量.(1)非負(fù)性當(dāng)x?0時(shí),

16、

17、x

18、

19、>0;當(dāng)x=0時(shí),

20、

21、x

22、

23、=0.(2)齊次性

24、

25、?x

26、

27、=

28、?

29、

30、

31、x

32、

33、;(3)三角不等式

34、

35、x+y

36、

37、≤

38、

39、x

40、

41、+

42、

43、y

44、

45、.是一個(gè)單位向量，稱(chēng)這當(dāng)x?0時(shí)，一運(yùn)算為將向量x標(biāo)準(zhǔn)化或單位化。向量的長(zhǎng)度具有下列性質(zhì):2.長(zhǎng)度的性質(zhì)例如：?jiǎn)挝换痻3.向量的夾角向量的內(nèi)積滿(mǎn)足施瓦茨不等式[x,y]2≤[x,x][y,y],由此可得(當(dāng)

46、

47、x

48、

49、

50、

51、y

52、

53、?0時(shí)),令于是有下面的定義:定義當(dāng)

54、

55、x

56、

57、?0,

58、

59、y

60、

61、?0時(shí),稱(chēng)為n維向量x與y的

62、夾角.量正交.x=0,則x與任何向量都正交,即零向量與任何向當(dāng)[x,y]=0時(shí),稱(chēng)向量x與y正交.顯然,若講解書(shū)例11.正交向量組的定義定義若非零向量組a1,a2,···,am兩兩正交,即[ai,aj]=aiTaj=0(i?j;i,j=1,2,….m)兩兩正交的非零向量,則a1,a2,···,am線(xiàn)性無(wú)關(guān).定理1若n維向量a1,a2,···,am是一組則向量組稱(chēng)為正交向量組.若每個(gè)向量為單位向量，四、正交向量組的性質(zhì)稱(chēng)此正交向量組為單位正交向量組。1.定義設(shè)a1,a2,···,an是a2,···,an是Rn的一

63、個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.如果a1,a2,···,an為單位正交向量組，則稱(chēng)a1,五、正交基與標(biāo)準(zhǔn)正交基Rn的一個(gè)基2.標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法設(shè)a1,a2,···,ar是向量空間V的一個(gè)基,要正交化:我們可以用以下方法把a(bǔ)1,a2,···,ar規(guī)范···,ar這個(gè)基標(biāo)準(zhǔn)正交化.a1,a2,···,ar等價(jià).這樣一個(gè)問(wèn)題,稱(chēng)為把a(bǔ)1,a2,正交的單位向量1,2,···,r,使1,2,···,r與求V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.也就是要找一組兩兩xxxxxx取b1=a1;容易驗(yàn)證b1,···,br兩兩正交,且b1,···,br與然后只要把它們

64、單位化,即取a1,···,ar等價(jià).就得V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.bk與a1,···,ak等價(jià).等價(jià),還滿(mǎn)足對(duì)任何k(1≤k≤r),向量組b1,···,正交化過(guò)程.它不僅滿(mǎn)足b1,···,br與a1,···,ar向量組b1,···,br的過(guò)程稱(chēng)為施密特(Schimidt)上述從線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組a1,···,ar導(dǎo)出正交綜上所述,求向量空間V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.步驟3:把正交基b1,···,br單位化即得V正交化,得正交基b1,···,br;步驟2:用施密特正交化過(guò)程把a(bǔ)1,···,ar步驟1:求V的任意一

65、個(gè)基a1,···,ar;可歸為以下三步:例4設(shè)試用施密特正交化過(guò)程把這組向量規(guī)范正交化.例5已知R3中兩個(gè)向量求a3，使得a1,a2,a3為R3的一組正交基，并求與之等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)正交基。例6已知求一組非零向量a2,a3，使a1,a2,a3兩兩正交.定義4設(shè)A為n階實(shí)矩陣,且ATA=E,都是正交矩陣.則稱(chēng)A為正交矩陣.例如六、正交矩陣2.正交矩陣的性質(zhì)(1)若矩陣A為正交矩陣,則行(列)向量組是兩兩正交的單位向量組.定理2實(shí)矩陣A為正交矩陣的充要條件是A的AT=A-1;(2)實(shí)矩陣A為正交矩陣的充要條件是

66、A

67、=?

68、?;定義5若P為正交矩陣，則線(xiàn)性變換設(shè)y=Px為正交變換，則有y=Px稱(chēng)為正交變換.

69、

70、y

71、

72、=

73、

74、x

75、

76、說(shuō)明經(jīng)正交變換線(xiàn)段長(zhǎng)度保持不變，七、正交變換